關(guān)于光纖陀螺溫度漂移建模與預(yù)測的探索
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作者：張毅
本文根據(jù)Shupe效應(yīng)分析了影響陀螺溫度漂移的因素；提出一種光纖陀螺溫度漂移的改進(jìn)AR模型和建模方法，試驗(yàn)驗(yàn)證了模型有效性；基于Labview開發(fā)了光纖陀螺溫度特性評測軟件，服務(wù)于陀螺生產(chǎn)。
1 光纖陀螺的Shupe效應(yīng)
溫度漂移是光纖陀螺的主要誤差之一。當(dāng)陀螺周圍溫度變化時，光纖折射率、光纖環(huán)圈熱膨脹系數(shù)、環(huán)圈形狀和尺寸等參數(shù)均發(fā)生改變，導(dǎo)致陀螺輸出發(fā)生漂移。當(dāng)光纖環(huán)圈中存在位置不對稱的溫度擾動時，兩束反向傳播的光波經(jīng)過這段光纖后將產(chǎn)生非互易性相移，稱為Shupe效應(yīng)。該非互易性相移與旋轉(zhuǎn)引起的Sagnac相移無法區(qū)分，因此大大降低了陀螺的測量精度。在光纖長度為L的環(huán)圈中，兩束干涉光分別沿順時針和逆時針方向傳播，因位置不對稱的溫度擾動所引起的非互易性相位差為。
式中：βo= 2π/λo為自由空間的傳播常數(shù)，λo為真空中光波長；n為光纖折射率；c為真空中光速；an／aT為折射率隨溫度的變化率；z為光纖上某點(diǎn)坐標(biāo)；T’(z，t)為t時刻光纖z點(diǎn)上的溫度變化率。
由式(1)可知，Shupe效應(yīng)與光纖環(huán)圈的溫度變化率有關(guān)。由于熱傳導(dǎo)效應(yīng)，溫度變化率將對光纖環(huán)圈形成一個自內(nèi)向外或自外向內(nèi)的溫度梯度。因此，Shupe效應(yīng)還反映出溫度梯度對陀螺輸出的影響。
2 光纖陀螺溫度漂移建模
光纖陀螺中各種光學(xué)元件和電子元件自身的不穩(wěn)定性會形成復(fù)雜的噪聲源；同時，光纖陀螺對外界環(huán)境較為敏感，溫度變化、微小振動、磁場擾動以及其他隨機(jī)干擾都會影響陀螺輸出。因此，光纖陀螺溫度漂移可分為兩部分：與系統(tǒng)相關(guān)的誤差源以及環(huán)境的隨機(jī)擾動產(chǎn)生的隨機(jī)誤差項(xiàng)；由溫度變化引起的趨勢項(xiàng)。根據(jù)Shupe效應(yīng)，該趨勢項(xiàng)主要與環(huán)圈溫度變化率和環(huán)國內(nèi)外溫度梯度有關(guān)。本文先建立隨機(jī)誤差項(xiàng)模型，再建立趨勢項(xiàng)模型，修正隨機(jī)誤差項(xiàng)模型。
2.1 隨機(jī)誤差項(xiàng)建模
2.1.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理及AR模型
為了建立隨機(jī)誤差項(xiàng)模型，要求光纖陀螺在試驗(yàn)中保持一段時間的恒溫。先預(yù)處理靜態(tài)、恒溫條件下測量的陀螺數(shù)據(jù)，保證建模的準(zhǔn)確性。
本文采用拉依達(dá)準(zhǔn)則剔除陀螺數(shù)據(jù)中的野值，具體步驟如下：
1)對n次測量值Y1，…，yn，求算術(shù)平均值y；
2)求各測量值相對于均值的偏差Vi，即
計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σ，即
4)判斷并剔除野值，當(dāng)|Vi|> 3σ，則認(rèn)為對應(yīng)的y，為野值，予以剔除。
以上步驟可以去除明顯的異常值。
剔除野值后重新編組序列{y(t)}，求平均值μ，去除平均值后得到零平均值序列{Y，(t)}，即為陀螺隨機(jī)誤差。再進(jìn)行平穩(wěn)化檢驗(yàn)，將整個序列{y(t)}按時間順序分成m,個等數(shù)據(jù)量的子序列。設(shè)序列{Y(t)}有N個值，則每個子序列有N/m個值，依次計(jì)算每個子序列的平均值μi和方差σ2i，i=1，2，…，m，求出每個子序列的yi值，即
計(jì)算所有yi值的平均值y為
根據(jù)式(4)和式(5)的結(jié)果，當(dāng)yi>y的子序列個數(shù)m1和yi≤y的子序列個數(shù)m2大致相等時，則該序列為平穩(wěn)隨機(jī)序列。
經(jīng)檢驗(yàn){y(t)}為平穩(wěn)隨機(jī)序列，考慮到當(dāng)前時刻陀螺輸出值與系統(tǒng)、測量噪聲和之前時刻的輸出值均可能相關(guān)”，建立AR(2)模型如下
式中：k1，k2為隨機(jī)誤差項(xiàng)模型系數(shù)；at是均值為0、方差為σ2a的白噪聲；Y(t) =y(t) -μ。該模型另一種表示形式為
式中：q-1為滯后算子；μ為剔除野值后的序列均值。
2.1.2模型參數(shù)估計(jì)
采用最小二乘法估計(jì)AR(2)模型中參數(shù)k1，k2。θ最小二乘估計(jì)θ為
式中：
在式(8)中序列長度N需N>>2以滿足矩陣XTX是非奇異的要求。
計(jì)算序列y(t)}的平均值估計(jì)均值μ；殘差方差σ2a的無偏估計(jì)由式(13)給出
通過提取試驗(yàn)中恒溫時段內(nèi)的陀螺輸出數(shù)據(jù)建立隨機(jī)誤差項(xiàng)AR(2)模型。
2.1.3 模型診斷檢驗(yàn)
完成模型參數(shù)估計(jì)后，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦m用性。本文通過檢查模型是否滿足假定進(jìn)行檢驗(yàn)。AR( p)模型的假定是：殘差at為零均值、常值方差的白噪聲。設(shè)已擬合出AR(2)模型，k1，k2為模型參數(shù)估計(jì)值，則殘差at的估計(jì)值為
若經(jīng)檢驗(yàn)at為白噪聲，則表明模型適用；否則表明模型不適用。當(dāng)at為白噪聲時，序列{at}的理論自相關(guān)函數(shù)值和理論偏自相關(guān)函數(shù)值均為零（原點(diǎn)除外）。因此，若計(jì)算得到的序列樣本自相關(guān)估計(jì)值和樣本偏自相關(guān)估計(jì)值均在零附近波動，且不顯著（兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)），則說明AR(2)模型適用；否則可以根據(jù)序列{a1}的樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的結(jié)構(gòu)修正模型。
2.2趨勢項(xiàng)建模
試驗(yàn)中溫度變化使陀螺輸出發(fā)生漂移。趨勢項(xiàng)用于描述陀螺輸出漂移的整體變化趨勢，主要受到環(huán)圈溫度變化率和環(huán)圈內(nèi)外溫度梯度的影響。本文對采樣序列進(jìn)行平滑提取趨勢項(xiàng)，它能較好地反映出陀螺溫度漂移的整體變化趨勢。試驗(yàn)中光纖環(huán)圈中心位置和外壁上分別安裝兩個溫度傳感器，感知環(huán)圈周圍溫度變化。使用環(huán)圈中心溫度變化率項(xiàng)和環(huán)圈內(nèi)外溫度梯度項(xiàng)建立該趨勢項(xiàng)模型。由于環(huán)圈中心溫度變化率和環(huán)圈內(nèi)外溫度梯度與趨勢項(xiàng)呈較強(qiáng)的線性關(guān)系，并且陀螺工裝可能導(dǎo)致傳感器測量到的溫度變化對陀螺輸出的影響具有滯后性，因此趨勢項(xiàng)模型為
式中：μo等于式(7)中μ值；T'（t-i）為環(huán)圈中心溫度變化率；ΔT(t-i)為環(huán)圈內(nèi)外溫度梯度；β1，β2為模型系數(shù)；i為滯后步長。采用最小二乘法估計(jì)式(15)中參數(shù)β1，β2和i建立模型。
2.3溫度漂移建模
繪制并分析某光纖陀螺的溫度漂移輸出序列，可以認(rèn)為該序列具有同質(zhì)非平穩(wěn)特性，即除去局部水平或趨勢不同以外，序列的某一部分和其他任何部分特征相似，說明溫度變化對該陀螺隨機(jī)誤差的影響不大．因此本文在隨機(jī)誤差項(xiàng)AR(2)模型中引入趨勢項(xiàng)模型建立光纖陀螺溫度漂移模型，即用式(15)修正式中的μ，得到的溫度漂移模型為
即
把2.1節(jié)、2.2節(jié)中所有辨識得到的參數(shù)估計(jì)值代入式(17)建立溫度漂移模型。該模型是一個線性模型，不僅考慮到了陀螺輸出之間的相關(guān)性，而且考慮到了光纖環(huán)圈溫度的時空變化對陀螺輸出的影響。
3 試驗(yàn)過程及結(jié)果
3.1試驗(yàn)說明
試驗(yàn)中使用高精度半導(dǎo)體恒溫箱。將溫箱靜止放置于水平大理石臺面上，把某光纖陀螺固定在溫箱底座。該陀螺光纖環(huán)圈中心和外壁上分別安裝了兩個溫度傳感器用于測量環(huán)圈的溫度變化情況。
啟動溫箱和陀螺，設(shè)置溫箱溫度20℃，待溫箱內(nèi)溫度穩(wěn)定、陀螺輸出平穩(wěn)后，進(jìn)行變溫試驗(yàn)。試驗(yàn)過程為：溫箱內(nèi)先保持恒溫10 min，然后以1℃/min降溫至10℃并保持恒溫20 min，再以1℃/min升溫至30℃并保持恒溫20 min，最后以l℃/min降回20℃。試驗(yàn)中陀螺和兩個溫度傳感器每間隔1 s輸出一組測量數(shù)據(jù){ G(t)，T1(t)，T(t)}。陀螺輸出數(shù)據(jù)G(t)如圖1所示，環(huán)圈中心溫度變化率T’1(t)如圖2所示，環(huán)圈內(nèi)外溫度梯度AT(t) =T1(t)- T2(t)如圖3所示。
3.2建立模型
根據(jù)本文提出的陀螺溫度漂移模型和建模方法，先截取G(t)中前10 min數(shù)據(jù)建立隨機(jī)誤差項(xiàng)模型。在該步驟中，剔除野值，檢驗(yàn)序列是平穩(wěn)的；并對AR(2)模型參數(shù)辨識，得μ= -8. 097(°)/h，σa=o．146(°)/h，k1=-0. 005，k2=-0. 04;經(jīng)檢驗(yàn)AR(2)模型適用二再平滑G(t)，得到陀螺溫度漂移的趨勢項(xiàng)如圖4所示，根據(jù)趨勢項(xiàng)模型辨識得到的參數(shù)為β1= -2. 733，β2=-0. 387，i=38，μo=-8.097(°)/h。最后把所有參數(shù)估計(jì)值代入式(17)得到該光纖陀螺的溫度漂移模型。
3.3模型有效性驗(yàn)證
使用3.2節(jié)中已建立的溫度漂移模型和溫度傳感器測量數(shù)據(jù)預(yù)測第1次試驗(yàn)中的陀螺輸出，得到的估計(jì)值與測量值如圖Sa所示�？梢钥闯觯呀⒌哪Ｐ湍軠�(zhǔn)確反映本次試驗(yàn)中陀螺的溫度漂移。
為進(jìn)一步驗(yàn)證模型有效性，又進(jìn)行了兩次不同的變溫試驗(yàn)。第2次試驗(yàn)中溫箱變溫速率不變，改變溫度變化范圍。試驗(yàn)過程為：溫箱內(nèi)先保持20℃恒溫10 min，然后以1℃/min升溫至25℃并保持恒溫20 min，再以1℃/min降溫至15℃并保持恒溫20 min，最后以1℃/min升回20℃。此次試驗(yàn)應(yīng)用已有模型和溫度傳感器測量數(shù)據(jù)預(yù)測陀螺輸出，并與實(shí)測數(shù)據(jù)相比較，如圖5b所示�？梢钥闯�，該模型在不同變溫范圍情況下能有效預(yù)測出陀螺溫度漂移。第3次試驗(yàn)中溫箱變溫速率和溫度變化范圍均發(fā)生改變。試驗(yàn)過程為：溫箱先保持20℃恒溫10 min，然后以0.5℃/min降溫至5℃并保持恒溫20 min，再以0.5℃/min升溫至35℃并保持恒溫20 min，最后以l℃/min降回20℃。本次試驗(yàn)得到的估計(jì)值和測量值如圖Se所示。可以看出，對于不同的變溫速率和變溫范圍，該模型仍能較好地預(yù)測出陀螺溫度漂移。
以上3次試驗(yàn)得到的估計(jì)序列和測量序列的均值及標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示：本文提出的光纖陀螺溫度漂移模型具有統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)形式，但陀螺不同，模型參數(shù)也不同。
最后根據(jù)模型預(yù)測值補(bǔ)償陀螺輸出，3次試驗(yàn)補(bǔ)償后的結(jié)果分別如圖6a、圖6b、圖6c所示，得到的補(bǔ)償后序列標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示，補(bǔ)償后序列漂移降低至補(bǔ)償前的20%以下。若想進(jìn)一步減少漂移，可采用卡爾曼濾波、FLP等算法。試驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)AR模型和建模方法對光纖陀螺溫度漂移的預(yù)測、補(bǔ)償準(zhǔn)確有效。
4 可視化軟件設(shè)計(jì)
本文使用LabvieW軟件開發(fā)平臺開發(fā)了光纖陀螺溫度特性評測軟件，目的是將光纖陀螺溫度漂移建模的研究應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)中，實(shí)現(xiàn)光纖陀螺溫度特性的快速評價、預(yù)測及補(bǔ)償。該軟件由三大模塊組成：第一模塊用于測量曲線基本參數(shù)的計(jì)算；第二模塊基于改進(jìn)AR模型，計(jì)算模型參數(shù)，并根據(jù)預(yù)測值補(bǔ)償陀螺輸出；第三模塊用于預(yù)測不同溫度變化情況下的陀螺輸出，并能驗(yàn)證模型有效性，以上功能服務(wù)于陀螺生產(chǎn)，具有應(yīng)用價值。
5結(jié)束語
溫度漂移是影響光纖陀螺測量精度的重要誤差源，由系統(tǒng)隨機(jī)噪聲源產(chǎn)生的隨機(jī)誤差項(xiàng)和溫度變化引起的趨勢項(xiàng)組成。本文提出一種光纖陀螺溫度漂移的改進(jìn)AR模型和建模方法，先提取試驗(yàn)中恒溫時段內(nèi)的陀螺輸出數(shù)據(jù)建立隨機(jī)誤差項(xiàng)AR(2)模型，再使用溫度傳感器測量數(shù)據(jù)建立由溫度變化率和溫度梯度組成的趨勢項(xiàng)模型，最后用趨勢項(xiàng)模型修正AR(2)模型，得到陀螺溫度漂移模型。本文用試驗(yàn)驗(yàn)證模型有效性，并開發(fā)了相關(guān)的可視化軟件。該模型充分考慮到了溫度的時空變化對陀螺輸出的影響以及陀螺輸出的相關(guān)性。該模型線性、易于實(shí)現(xiàn)預(yù)測和在線補(bǔ)償，對評價和預(yù)測光纖陀螺溫度特性以及提高光纖陀螺測量精度具有現(xiàn)實(shí)意義。
5摘要：溫度漂移是光纖陀螺的主要誤差之一，它可分為兩部分：與系統(tǒng)相關(guān)的誤差源及環(huán)境的隨機(jī)擾動產(chǎn)生的隨機(jī)誤差項(xiàng)；由溫度變化引起的趨勢項(xiàng)。提出了一種光纖陀螺溫度漂移的改進(jìn)AR模型和建模方法，先建立隨機(jī)誤差項(xiàng)的AR模型，再在AR模型中引入趨勢項(xiàng)。使用實(shí)測的光纖陀螺溫度漂移數(shù)據(jù)建模，并驗(yàn)證模型有效性。結(jié)果表明，該模型能準(zhǔn)確預(yù)測不同溫度變化情況下陀螺漂移輸出，并能用預(yù)測值有效補(bǔ)償漂移誤差，補(bǔ)償后溫度漂移減小到補(bǔ)償前的20%以下。基于Labview開發(fā)了可視化軟件，該軟件在陀螺溫度特性的評價與預(yù)測方面具有實(shí)用價值。
