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  作者；張毅

  當空域中僅在幾個方向上存在信號源，即信源滿足空域稀疏性時，可以利用稀疏重構(gòu)的方法實現(xiàn)信源的波達方向( Direction of Arrival，DOA)估計。相比于陣列信號處理中傳統(tǒng)的子空間方法，基于稀疏重構(gòu)的DOA估計方法能夠同時處理非相關(guān)及相關(guān)信號，且不會引起陣列孔徑的損失；利用稀疏重構(gòu)的方法可以實現(xiàn)更高的角度分辨力；在快拍數(shù)較少以及信噪比較低時有更高的估計精度。求解稀疏重構(gòu)問題，通過最小化待求解矢量的1范數(shù)重構(gòu)得到的解最為準確，但這是一個NP-hard問題，為此，許多學者提出最小化待求解矢量的1。(0 <p≤1)范數(shù)來近似求解。由于通過最小化解矢量的Z．范數(shù)得到的重構(gòu)結(jié)果是全局最優(yōu)解，因此在稀疏重構(gòu)DOA估計算法中，以基于Z．范數(shù)的成果最多，其中有直接利用陣列輸出數(shù)據(jù)稀疏表示的Z．-SVD算法，但該算法在求解稀疏表示模型時，需要選取平衡重構(gòu)殘差與解的稀疏性的正則化參數(shù)，目前對該參數(shù)的選取缺乏有效的理論方法。為此，有學者提出了利用陣列輸出數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣稀疏表示的SPICE算法和SRACV算法，這兩種算法無需選取正則化參數(shù)，但其計算復雜度都較大。此外，上述算法僅適用于高斯白噪聲背景下，不適用于高斯色噪聲背景下；能夠分辨的信源數(shù)均小于陣元數(shù)。本文利用陣列輸出數(shù)據(jù)的四階累積量矩陣構(gòu)造了稀疏表示模型，該模型在高斯白噪聲以及色噪聲背景下均能夠抑制噪聲項，利用l1范數(shù)法對模型求解不需要選取平衡重構(gòu)殘差與解的稀疏性的正則化參數(shù)。此外，四階累積量矩陣的構(gòu)造實現(xiàn)了陣列擴展，使得本文算法能夠分辨的最大信源數(shù)大于實際陣元數(shù)。

1  基于四階累積量的稀疏表示模型

1.1四階累積量矩陣

假設(shè)陣元間距為半個波長，K個遠場窄帶信號入射到M(M>K)個陣元上，則陣列輸出數(shù)據(jù)可以稀疏表示為

據(jù)此式(5)可以簡化為

式中，目標函數(shù)中的wi，i=1，2，…N，為加權(quán)權(quán)值，加權(quán)的目的是促進解的稀疏性，抑制空間譜偽峰。因此其性質(zhì)應(yīng)為信源方向上的權(quán)值w，較小，無信源的方向上的權(quán)值w，較大，利用信號子空間與噪聲子空間正交的性質(zhì)可以計算得到滿足上述特性的權(quán)值llj。提取四階累積量矩陣的噪聲子空間，即式(10)中酉矩陣U的第(K+1)到第（2M -1）列，計算得到權(quán)值w，為

計算得到權(quán)值后，利用凸優(yōu)化工具箱中的函數(shù)即可求解式(12)。

3  算法可分辨最大信源數(shù)與復雜度分析

4仿真分析

  實驗1比較在不同信噪比條件下，本文算法與Z．一SVD，SRACV以及基于四階累積量矩陣子空問的Music-like算法對信號的角度估計均方根誤差。實驗中原子基

的角度變化范圍為- 90。~90。，相鄰原子基的角度間隔為1。。窄帶非相關(guān)信號兩信源的入射方向分別為18。和33。。陣列為均勻線陣，陣元數(shù)為8個，陣元間距為半個波長。采樣快拍數(shù)為1000，噪聲為高斯白噪聲，信噪比變化范圍為-8~ 10 dB，相鄰信噪比的間隔為2 dB，每個信噪比下進行100次實驗，角度估計均方根誤差的計算式為

如圖1所示，本文算法在信噪比較低時，DOA估計誤差與Z，-SVD算法相當，與Music-like算法相比，誤差較小，說明了稀疏重構(gòu)方法較子空間方法有更高的角度估計精度。隨著信噪比的提高，本文算法的估計誤差小于Z．-SVD算法，與SRACV及Music-Iike算法的估計誤差幾乎一致。

  實驗2  設(shè)定噪聲為高斯色噪聲，比較本文算法與Music-like算法對非相關(guān)信號的角度估計均方根誤差。實驗中高斯色噪聲為高斯白噪聲通過傳遞函數(shù)為的濾波器的輸出，其他實驗條件同實驗1。

如圖2所示，高斯色噪聲背景下，信噪比較低時，本文算法的角度估計誤差明顯小于Music-Iike算法，隨著信噪比的提高，兩種算法的估計誤差均為零。

  實驗3分析在低信噪比條件下，采樣快拍數(shù)對本文算法的角度估計均方根誤差的影響。實驗中信噪比為-8 dB，采樣快拍數(shù)由200逐漸增加到1000，每次增加100快拍，其他實驗條件同實驗1，每個快拍數(shù)下進行100次實驗，得到角度均方根誤差隨快拍數(shù)變化的曲線。

如圖3所示，隨著快拍數(shù)的增大，DOA估計誤差在逐漸減小，這是因為在計算信號的四階累積量時，通常利用信號的時間均值來代替統(tǒng)計均值，那么低信噪比條件下，隨著快拍數(shù)的增大，計算得到的高斯噪聲的四階累積量逐漸趨于零，加強了對噪聲的抑制作用，由此減小了DOA估計誤差。

實驗4分析本文算法的角度分辨力。實驗中陣元數(shù)為4個，非相關(guān)信源數(shù)為5個，信源數(shù)大于陣元數(shù)，入射角度分別為-18。，18。，33。，48。，68。。此時，信噪比為10 dB，噪聲為高斯白噪聲，快拍數(shù)為1000。通過本文算法與Music-Iike算法估計得到的空間譜如圖4所示。

  由圖4可知，在信源數(shù)大于陣元數(shù)的情況下，本文算法能夠成功分辨源信號，且分辨力較高，而由Music -like算法得到的空間譜只有4個譜峰，不能正確分辨出源信號，存在較高的測向誤差。

  進一步分析本文算法的角度分辨力，實驗中兩信源的方向分別為18。和20。，信噪比為10 dB，其他實驗條件同實驗1。通過本文算法和各比較算法估計得到的空間譜如圖5所示。

實驗5  比較各算法運算一次所需的時間。每次實驗所用的計算機配置相同，得到的運算時間如表1所示。

  由表1可知，本文算法的運算時間略高于l1-SVD算法，而SRACV算法的耗時最長，Music-like算法的耗時最少，驗證了對各算法計算復雜度的分析正確性。

5  結(jié)論

  本文利用陣列輸出數(shù)據(jù)的四階累積量矩陣構(gòu)建了稀疏表示模型，在高斯白噪聲以及色噪聲背景下，該模型均能夠抑制噪聲項，由此利用二階錐規(guī)劃對模型求解時不需要選取平衡殘差與結(jié)果稀疏性的正則化參數(shù)；四階累積量矩陣的構(gòu)造使得陣列中產(chǎn)生虛擬陣元，因此本文算法能夠分辨的最大信源數(shù)大于實際陣元數(shù)；仿真表明本文算法具有較高的角度分辨力，在角度間隔時，能夠成功分辨兩信源。存在的不足是低信噪比時，算法性能受快拍數(shù)影響較大，少量的快拍數(shù)會增大估計誤差，隨著快拍數(shù)的增多，誤差逐漸減

；本文構(gòu)建的稀疏表示模型僅適用于非相關(guān)信號，因此算法不具備解相干能力。

6摘要：針對現(xiàn)有稀疏重構(gòu)DOA估計算法不能抑制噪聲項、在高斯色噪聲背景下不適用以及能夠分辨的最大信源數(shù)小于陣元數(shù)的問題，首先利用陣列輸出數(shù)據(jù)的四階累積量矩陣構(gòu)建稀疏表示模型，該模型抑制了噪聲項，并通過產(chǎn)生虛擬陣元實現(xiàn)了陣列擴展；然后對累積量矩陣進行奇異值分解來化簡模型，化簡后的模型不僅減小了數(shù)據(jù)規(guī)模而且進一步抑制了噪聲。在利用加權(quán)l(xiāng)，范數(shù)法對稀疏表示模型求解時，不需要選取平衡重構(gòu)殘差與解的稀疏性的正則化參數(shù)。理論分析與仿真實驗表明所提算法在高斯白噪聲以及色噪聲背景下均適用，能夠分辨的最大信源數(shù)大于陣元數(shù)且具有較高的角度分辨力。