一種基于卡爾曼濾波的導彈姿態(tài)最優(yōu)控制法
作者：鄭曉敏
導彈模型參數(shù)攝動及外界干擾等，這些不確定因素的影響都可能導致導彈控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定和控制精度不夠。因此，設計的導彈控制系統(tǒng)在保證具有良好的指令響應的同時，還必須具有良好的魯棒性。
線性二次高斯( LQG)最優(yōu)控制方法是用來處理有附加噪聲影響或狀態(tài)不能直接測量情況下有限維線性系統(tǒng)反饋控制設計的綜合方法。然而LQG控制器因為狀態(tài)觀測器的引入而表現(xiàn)出穩(wěn)定裕度缺乏的特性。為了解決這個問題，本文使用卡爾曼濾波器來估計系統(tǒng)狀態(tài)和測量已知噪聲方差，將估計的狀態(tài)饋送至最優(yōu)控制器實現(xiàn)給定性能指標，使得全狀態(tài)LQG調節(jié)器自然擁有的魯棒特性在系統(tǒng)的輸入端通過動態(tài)調節(jié)器而得到基本恢復。該方法是基于單回路頻域成形技術在多回路系統(tǒng)中的擴展，它綜合了線性二次型調節(jié)器和線性時不變卡爾曼濾波器的魯棒特性，采用回路傳遞恢復技術，在系統(tǒng)的輸入端或輸出端得到所需要的平衡頻域形狀。本文成功地將此方法應用于非最小相位的鴨式布局導彈控制系統(tǒng)中。
1 彈體姿態(tài)運動數(shù)學模型
其中：a、q和8分別為鴨式布局導彈的攻角、俯仰率和偏轉角；^和r。均為導引頭時間常數(shù)；Z、Z、M。、M。和M8均為氣動導數(shù)。
圖1中，ox1Y1z1為彈體坐標系，ox2y2z2為彈道固連坐標系，OZ1和0z2共軸，）r和B分別為導彈傾角和側滑角，p和r分別為導彈的偏轉率、滾轉率。
2控制器設計
設計一個具有良好動態(tài)特性和魯棒性能的卡爾曼濾波器，然后選擇全狀態(tài)反饋控制器的權矩陣Q和R，使得閉環(huán)系統(tǒng)輸出端的開環(huán)傳遞函數(shù)逐步逼近卡爾曼濾波器的傳遞函數(shù)，從而使卡爾曼濾波器固有的魯棒特性在被控對象的輸出端得到恢復。
2.1 卡爾曼濾波器
基于卡爾曼濾波的導彈控制系統(tǒng)如圖2所示。圖2中，uc(t)是系統(tǒng)控制向量輸出。系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差為：
其中：T為彈體偏轉運動時間常數(shù)。系統(tǒng)估計狀態(tài)為x，觀測誤差e=z一x，式(5)、式(6)、式(7)有效的條件為E（w）=E（v）=O。
穩(wěn)態(tài)誤差協(xié)方差為：
卡爾曼濾波狀態(tài)方程觀測形式為：
從矩陣黎卡提方程的解得到濾波器增益：
2.2 LQG控制器
LQG最優(yōu)控制方法是用來處理有附加噪聲影響或狀態(tài)不能直接測量情況下有限維線性系統(tǒng)反饋控制設計的綜合方法。同時可以找到控制器增益(K)優(yōu)化。LQG問題就是尋求一最優(yōu)反饋控制律，使得如下代價函數(shù)取極小值：
其中：Q、JR為正定矩陣。為了使式(13)中性能指標(J)最小化，控制律可以表示為：
其中：K，倒為狀態(tài)反饋控制器增益，Kinc =RNl B'r P。
正定的黎卡提方程解(P)可以代入黎卡提微分方程(ARE)獲得，如下所示：
對鴨式布局導彈系統(tǒng)控制器的性能進行仿真評估，控制輸入端輸入u至最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器。所提出的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制律方法在存在噪聲的導彈系統(tǒng)中運行良好。采用表1中參數(shù)對系統(tǒng)進行建模。噪聲的協(xié)方差分別為QN=0.002、RN=0.059。
LQG控制器系統(tǒng)的穩(wěn)定最佳響應如圖3所示，有、無狀態(tài)反饋控制器下系統(tǒng)階躍響應比較如圖4所示。由圖4可知，優(yōu)化后控制器在瞬態(tài)特性方面具有更好的性能。
系統(tǒng)建模中采用了兩種類型的噪聲，經過卡爾曼濾波器過濾后系統(tǒng)的噪聲響應如圖5所示。由圖5可以看出估計狀態(tài)幾乎是無噪聲的。
由于全狀態(tài)反饋控制器要求有3個過濾狀態(tài)作為輸入，卡爾曼濾波器從傳感器和控制輸入端獲取所測量噪聲信號，給出所需要的3個估計狀態(tài)。給定初始條件xo =[5，5，5]，有限時間間隔內跟蹤系統(tǒng)原始狀態(tài)，卡爾曼濾波估計狀態(tài)接近系統(tǒng)實際狀態(tài)。改變初始條件x。=[1，1，1]，卡爾曼濾波器的狀態(tài)估計同樣接近實際狀態(tài)，顯示了濾波器的性能，如圖6所示，估計誤差如圖7所示。給定系統(tǒng)和測量噪聲有限時間間隔內能正確估計導彈攻角并且誤差收斂為零。
3結束語
基于最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器的狀態(tài)估計在系統(tǒng)運行和測量噪聲中顯示了良好的性能，導彈攻角在有限時間間隔內穩(wěn)定最優(yōu)化。卡爾曼濾波器有助于全狀態(tài)最優(yōu)反饋控制器在濾波估計狀態(tài)和鴨翼偏轉幫助下穩(wěn)定導彈的攻角。該方法可以進一步擴展為最優(yōu)跟蹤控制器的發(fā)展，同時也是設計具有非線性狀態(tài)估計技術的非線性最優(yōu)反饋控制器的較好選擇。
4摘要：使用卡爾曼濾波器來估計系統(tǒng)過程狀態(tài)，噪聲測量值饋通至線性二次高斯控制器以實現(xiàn)導彈攻角的控制。該方法的控制器負責處理系統(tǒng)中不需要的噪聲，確保跟蹤誤差收斂為零。通過仿真證實了控制器的有效性。
