簡(jiǎn)述一道容易出錯(cuò)的二重積分計(jì)算題_
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論文導(dǎo)讀:：通過(guò)對(duì)一道二重積分題的錯(cuò)誤解法剖析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)掌握的薄弱環(huán)節(jié)，從而引起數(shù)學(xué)教學(xué)上的足夠重視，并著重介紹了相應(yīng)的正確解答．
論文關(guān)鍵詞：二重積分，定積分，極坐標(biāo)替換
對(duì)于積分區(qū)域D的形式，其邊界曲線由極坐標(biāo)方程表示比較方便時(shí)，我們一般考慮用極坐標(biāo)變換來(lái)計(jì)算二重積分
的值，其變換過(guò)程為：
令
，再將積分區(qū)域D用極坐標(biāo)方法表示之，繼而
用公式: 
轉(zhuǎn)換之.
通常地,當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橹行脑谧鴺?biāo)軸上的圓形或部分圓形域,或是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的環(huán)形或部分環(huán)形域,以及被積函數(shù)以
、
、
、
為中間變量時(shí),用以上方法計(jì)算二重積分是比較行之有效.比較常見(jiàn)的例型有教材[1]中的例4至例7.
本人在二重積分教學(xué)過(guò)程中，曾布置過(guò)這樣一道作業(yè)題．
計(jì)算二重積分
從學(xué)生所交來(lái)的作業(yè)答案中，竟發(fā)現(xiàn)相當(dāng)多的學(xué)生其解答犯有同樣的錯(cuò)誤,不妨羅列錯(cuò)誤解法如下:
解：作極坐標(biāo)替換，則在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為：
于是，
由奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上定積分的性質(zhì)，可知：
究其原因，一方面，學(xué)生對(duì)高中的一個(gè)根式的性質(zhì)：
，不夠重視，平時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤：
．這也是教材在不定積分的三角替換中，沒(méi)有作進(jìn)一步的強(qiáng)調(diào)所致定積分，如教材中的例題以及后面的小結(jié),都習(xí)慣性的只介紹一種三角代換式，忽視了替換中的條件，如
等等，當(dāng)然學(xué)生對(duì)這樣的書(shū)寫也習(xí)慣成自然了．另一方面，諸如對(duì)定積分:
，
此類的題型缺乏足夠的練習(xí)，使得對(duì)分段函數(shù)的定積分一籌莫展．
本題的正確解法和答案應(yīng)該是：
解法一：作極坐標(biāo)替換，則積分區(qū)域可表示為：
而對(duì)于定積分
來(lái)說(shuō)，只要作變量替換，令
，則：
解法二：根據(jù)二重積分的幾何意義，以及球面圖形關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性，有
作極坐標(biāo)替換，則積分區(qū)域D1可表示為：
通過(guò)本題的講解和錯(cuò)誤修正，筆者認(rèn)為平時(shí)要對(duì)不定積分的三角替換、對(duì)對(duì)稱區(qū)間的定積分以及絕對(duì)值函數(shù)的定積分的教學(xué)要引起足夠重視，計(jì)算時(shí)要多注說(shuō)明這些比較容易出錯(cuò)的地方，舉一反三，加強(qiáng)該類題型的練習(xí)，例如布置一些如下二重積分的計(jì)算題型:
�、�. 
,其中
�、�. 
,其中
總之,計(jì)算被積函數(shù)帶絕對(duì)值號(hào)的二重積分,要正確去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值號(hào)是個(gè)關(guān)健,注意被積函數(shù)在各子區(qū)域上的符號(hào),根據(jù)積分區(qū)域的可加性質(zhì)才能正確計(jì)算.
參考文獻(xiàn)［1］桂德懷．高等應(yīng)用數(shù)學(xué)(第二冊(cè))[M]．蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2007．11：80-81.
[2］張國(guó)昌．高等數(shù)學(xué)(第一冊(cè))[M]．蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2003．8：137-138.
［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001.
