淺析一道常系數(shù)線性微分方程組的解法
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論文導(dǎo)讀:：通過(guò)對(duì)常微分方程的學(xué)習(xí)，對(duì)一道常微分方程習(xí)題，運(yùn)用公式法，拉普拉斯變換，常數(shù)變易法以及復(fù)數(shù)變換，給出四種初等解法.
論文關(guān)鍵詞：常微分方程組線性方程，公式法拉普拉斯變換，常數(shù)變易法復(fù)數(shù)變換
設(shè)
，試求方程
滿足初值條件
的解
.
分析題意：特征方程
的根，解之可得
.
對(duì)應(yīng)于
的特征向量
必須滿足線性代數(shù)方程組
.于是，
是對(duì)應(yīng)于的特征向量.
類似地，可求得對(duì)應(yīng)于
的特征向量為
.
于是矩陣
就是一個(gè)基解矩陣.
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＊資助課題：安康學(xué)院大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目（2009AKXYDXS06）；安康學(xué)院重點(diǎn)扶持學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（AZXZ0107）.
解法1：由以上所求可知基解矩陣，得：
，則
.
將已知數(shù)據(jù)代入公式：
，利用
得：
.
解法2：由
得：
.
將其代入公式
，利用得：
最后我們可得：
.
從以上兩種解法中可看出，運(yùn)用不同的公式，選擇不同的基解矩陣，則得到不同的解法，顯然解法2其積分較解法1更簡(jiǎn)單，另外我們還可用拉普拉斯變換進(jìn)行求解.
解法3：令
，對(duì)方程組施行拉普拉斯變換得到：
由此解得：
取反變換或查拉普拉斯變換表即得：
.
解法3中巧妙地減少了積分過(guò)程，較解法1和解法2都簡(jiǎn)單.但是要將像函數(shù)
化為“可查拉普拉斯變換表”的函數(shù)形式有一定的難度.下面通過(guò)常數(shù)變易法，給出一種新的解法.
解法4：由基解矩陣：
設(shè)非齊次方程有下列形式的特解：
其中
，
滿足：
解之可得：
.
于是，
因此數(shù)學(xué)論文，非齊次方程組的通解為：
.
當(dāng)t=0時(shí)，
即有：
，解之可得：
.
所以，所求初值問(wèn)題的解為：
.
解法4運(yùn)用逆向思維，較前三種方法更易理解.綜上所述四種方法，均能得到正確結(jié)果，為了簡(jiǎn)便起見，下面通過(guò)復(fù)數(shù)變換，給出另一種新的解法.
解法5：將方程組化為一階線性方程【2】：
令
，則上式可化簡(jiǎn)為
.
令
，將其代入公式：
中可得：
.
由
代入上式可得：
.
則解得：
.
所以，
綜上所述可得：
.
解法5不僅新穎，更重要的是此方法可將方程組化為可解的一階線性方程，其過(guò)程簡(jiǎn)單明了.
方程組可化為復(fù)數(shù)形式（
）的本質(zhì)與矩陣
的元素滿足：a=c,b=-d.于是有更為廣義的結(jié)論，即：
定理 對(duì)于方程組
，
（1）通過(guò)復(fù)數(shù)變換，可化為一階線性方程
（2）
因此，通過(guò)對(duì)常微分方程解法的研究，對(duì)于培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新能力以及綜合知識(shí)的運(yùn)用起到非常關(guān)鍵的作用，我們要學(xué)會(huì)在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，體會(huì)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.
參考文獻(xiàn)：
【1】王高雄，周之銘，朱思銘等.常微分方程（第三版）【M】.北京：高等教育出版社.2006.7
【2】趙臨龍.常微分方程研究新論【M】.西安：西安地圖出版社.2000.1
