全等三角形證明的幾種方法綜述
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【摘要】：靈活運用ＳＡＳ、ＡＳＡ、ＡＡＳ、ＳＳＳ、ＨＬ來解決三角形全等，并運用例題幫助學生領(lǐng)會，解決三角形全等的一般思路，讓學生熟練運用知識，為以后的學習打下堅實的基礎(chǔ)。
論文關(guān)鍵詞：中學,三角形,全等
全等三角形是能完全重合的三角形，它們的形狀和大小都相等，探索三角形全等的過程是培養(yǎng)學生合情推理能力，合理使用因為、所以來闡述自己觀點，為以后學習打下堅實基礎(chǔ)。同時也讓學生運用數(shù)學思考生活，運用數(shù)學思想分析、解決實際問題，提高學生應(yīng)用數(shù)學的意識。
關(guān)于三角形的判定，主要有一下幾個方面：
1．兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等簡寫成“邊角邊”或“ＳＡＳ”。
2. 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡稱“角邊角”或“ＡＳＡ”。
3. 兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“ＡＡＳ”。
4． 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“ＳＳＳ”。
5.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“ＨＬ”。
以上幾點是判定三角形全等的條件，但有些題目不會直接告訴條件，也就不能直接運用判定，那么做題時需仔細審題、找出條件，以下是幾種常見的解題思路及分析方法。
已知一邊與其一鄰角對應(yīng)相等。
(1)說明相等角的另一邊對應(yīng)相等，再用“ＳＡＳ”。
已知：ＡＢ=ＤＥ、ＢＦ=ＥＣ、∠Ｂ=∠Ｅ、△ＡＢＣ與△ＤＥＦ全等嗎？為什么？
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�。� Ｂ Ｃ Ｅ
Ｄ
分析：知道ＡＢ=ＤＥ、∠Ｂ=∠Ｅ，只要說明ＢＣ=ＥＦ即可，
解：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ
因為ＢＦ=ＥＣ、所以ＢＦ－ＣＦ=ＥＣ－ＣＦ，即ＢＣ=ＥＦ。
因為ＡＢ=ＤＥ、∠Ｂ=∠Ｅ、ＢＣ=ＥＦ所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＡＳ）
已知：點Ｅ、Ｆ在ＢＣ上，ＢＥ=ＣＦ，ＡＢ=ＤＣ，∠Ｂ=∠Ｃ說明ＡＦ、ＤＥ相等。
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分析：要想說明ＡＦ、ＤＥ相等，必須說明△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ，但條件只知道ＡＢ=ＤＣ，∠Ｂ=∠Ｃ，所以要求ＢＦ=ＣＥ。
解：因為ＢＥ=ＣＦ，所以ＢＥ+ＥＦ=ＣＦ+ＥＦ，即ＢＦ=ＣＥ。
因為ＡＢ=ＤＣ，∠Ｂ=∠Ｃ，ＢＦ=ＣＥ。 Ｄ Ｅ
所以△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ），
即ＡＦ=ＤＥ（全等三角形對應(yīng)邊相等）
(2)說明已知邊的另一鄰角對應(yīng)相等，再用“ＡＳＡ” Ｂ Ｃ
如圖：已知：ＡＢ=ＡＣ，∠ＢＤＣ=∠ＢＥＣ，說明ＡＤ、ＡＥ相等。
分析：要說明ＡＤ、ＡＥ相等，必須說明△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ，已知ＡＢ=ＡＣ，隱藏條件∠Ａ=∠Ａ（公共角），只要求∠Ｂ=∠Ｃ，法一用三角形的外角，法二用三角形內(nèi)角和都可說明。
法一解：因為∠ＢＤＣ=∠ＢＥＣ，∠ＢＤＣ+∠ＢＯＤ+∠Ｂ=180°∠ＢＥＣ+∠ＥＯＣ+∠Ｃ=180°，且∠ＢＯＤ=∠ＥＯＣ（對頂角相等）所以∠Ｂ=180°－∠ＢＯＤ－∠ＢＤＣ，∠Ｃ=180°－∠ＥＯＣ－∠ＢＥＣ，即∠Ｂ=∠Ｃ。因為∠Ａ=∠Ａ，ＡＢ=ＡＣ，∠Ｂ=∠Ｃ。所以△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ（ＡＳＡ）
即ＡＤ=ＡＥ（全等三角形對應(yīng)邊相等）
法二解：因為∠ＢＤＣ=∠ＢＥＣ，∠Ｂ=∠ＢＤＣ－∠Ａ，∠Ｃ=∠ＢＥＣ－∠Ａ。
所以∠Ｂ=∠Ｃ。因為∠Ａ=∠Ａ，ＡＢ=ＡＣ，∠Ｂ=∠Ｃ。所以△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ（ＡＳＡ）即ＡＤ=ＡＥ（全等三角形對應(yīng)邊相等）
(3)說明已知邊的對角對應(yīng)相等，在應(yīng)“ＡＡＳ”。
如上圖：已知ＡＢ=ＡＣ，∠ＢＤＣ=∠ＢＥＣ，說明△ＡＢＥ與△ＡＣＤ全等。
分析：已知ＡＢ=ＡＣ，∠ＢＤＣ=∠ＢＥＣ，隱藏條件∠Ａ=∠Ａ（公共角），ＡＢ的對角是∠ＡＥＢ，ＡＣ的對角是∠ＡＤＣ，要說明∠ＡＥＢ=∠ＡＤＣ，
解：因為∠ＢＤＣ=∠ＢＥＣ，∠ＡＥＢ=180°－∠ＢＥＣ，∠ＡＤＣ=180°－∠ＢＤＣ 所以：∠ＡＥＢ=∠ＡＤＣ
因為∠ＡＥＢ=∠ＡＤＣ，∠Ａ=∠Ａ，ＡＢ=ＡＣ。所以：△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ（ＡＡＳ）
2. 已知兩邊對應(yīng)相等。
(1)說明已知邊的夾角對應(yīng)相等，再用“ＳＡＳ”。
如圖：ＡＤ是△ＡＢＣ的中線，在ＡＤ及其延長線上分別截�。模�=ＤＮ，連接ＢＭ、ＣＭ，說明△ＢＤＭ與△ＣＤＮ相等嗎？為什么？ Ａ
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分析：ＡＤ是△ＡＢＣ的中線，ＣＤ=ＢＤ，還知道ＤＭ=ＤＮ，所以只要說明∠ＣＤＮ=∠ＢＤＭ。
解：因為ＡＤ是△ＡＢＣ的中線，所以ＣＤ=ＢＤ，又因為∠ＣＤＮ=∠ＢＤＭ（對頂角相等），ＤＭ=ＤＮ，所以△ＢＤＭ≌△ＣＤＮ（ＳＡＳ）
對于知道兩邊相等的三角形要想用ＳＡＳ來說明，那么這個角必須是兩邊的夾角。
(2)說明第三邊對應(yīng)相等，再用“ＳＳＳ”。
如圖：ＡＢ=ＤＥ、ＢＦ=ＥＣ、ＡＣ=ＤＦ，說明∠Ｂ與∠Ｅ相等。
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分析：要想∠Ｂ=∠Ｅ，說明就要說明△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，已知ＡＢ=ＤＥ、ＡＣ=ＤＦ，只要說明ＢＣ=ＥＦ。
解：因為ＢＦ=ＥＣ、ＢＣ=ＢＦ-ＣＦ、ＥＦ=ＥＣ-ＦＣ，所以ＢＣ=ＥＦ。
因為ＡＢ=ＤＥ、ＡＣ=ＤＦ，ＢＣ=ＥＦ。所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＳＳ）
即∠Ｂ=∠Ｅ（全等三角形對應(yīng)角相等）
如圖；ＡＢ=ＤＣ、ＡＦ=ＤＥ、ＢＥ=ＣＦ，說明∠Ｂ與∠Ｃ相等。
�。� Ｄ
Ｂ Ｅ Ｆ Ｃ
分析：要想∠Ｂ=∠Ｅ，說明就要說明△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ，已知ＡＢ=ＤＣ、ＡＦ=ＤＥ，兩邊相等所以要求ＢＦ=ＣＥ。
解：因為ＢＥ=ＣＦ，ＢＥ+ＥＦ=ＣＦ+ＥＦ，所以ＢＦ=ＣＥ。
因為ＡＢ=ＤＣ、ＡＦ=ＤＥ、ＢＦ=ＣＥ。所以△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ。
即：∠Ｂ=∠Ｃ（全等三角形對應(yīng)角相等）
(3)斜邊、直角邊相等的直角三角形全等。
如圖：ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥ＢＤ，垂足分別為Ｃ、Ｄ，ＡＣ=ＢＤ，△ＡＢＣ
與△ＢＡＤ全等嗎？為什么？
�。� Ｂ
�。� Ｄ
分析：因為ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥Ｄ，所以△ＡＢＣ與△ＢＡＤ為直角三角形只需找到一斜邊、一直角邊相等就能說明全等，ＡＢ=ＢＡ（公共斜邊）ＡＣ=ＢＤ，使用ＨＬ。
解：Ｒt△ＡＢＣ與Ｒt△ＢＡＤ全等
因為ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥ＢＤ，所以∠Ｃ=∠Ｄ=90°，△ＡＢＣ和△ＢＡＤ是直角三角形。因為ＡＢ=ＢＡ（公共斜邊）ＡＣ=ＢＤ，所以Ｒt△ＡＢＣ≌Ｒt△ＢＡＤ
3.已知兩角對應(yīng)相等。
(1)說明兩角的夾邊對應(yīng)相等，再用“ＡＳＡ”。
如圖：點Ｂ、Ｆ、Ｃ、Ｅ在同一條直線上，ＢＦ=ＥＣ，∠Ｂ=∠Ｅ，∠ＡＣＢ=∠ＤＦＥ，說明△ＡＢＣ與△ＤＥＦ全等。
Ａ
�。� Ｆ Ｃ Ｅ
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分析：因為∠Ｂ=∠Ｅ，∠ＡＣＢ=∠ＤＦＥ，兩個角相等只要求ＢＣ=ＥＦ，即可
法一解；因為ＢＦ=ＥＣ，ＢＦ+ＦＣ=ＥＦ+ＦＣ，所以ＢＣ=ＥＦ。
因為∠Ｂ=∠Ｅ，ＢＣ=ＥＦ，∠ＡＣＢ=∠ＤＦＥ。所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ
法二解：因為ＢＦ=ＥＣ，ＢＣ=ＢＥ-ＥＣ，ＥＦ=ＢＥ-ＢＦ。所以ＢＣ=ＥＦ。
因為∠Ｂ=∠Ｅ，ＢＣ=ＥＦ，∠ＡＣＢ=∠ＤＦＥ。所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ
(2)說明已知角的對邊對應(yīng)相等，再用（ＡＡＳ）。
如圖：∠ＢＡＤ=∠ＡＢＣ，∠Ｃ=∠Ｄ，說明ＡＣ、ＢＤ相等。
Ｃ Ｄ
�。� Ｂ
分析：要使ＡＣ=ＢＤ，必須說明△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ，已知∠ＢＡＤ=∠ＡＢＣ，∠Ｃ=∠Ｄ，隱藏條件ＡＢ=ＢＡ（公共邊）。
解：因為∠Ｃ=∠Ｄ，∠ＢＡＤ=∠ＡＢＣ，ＡＢ=ＢＡ（公共邊）。所以△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ（ＡＡＳ） 即ＡＣ=ＢＤ（全等三角形對應(yīng)邊相等）。
除了運用“ＡＳＡ”、“ＡＡＳ”，兩種方法有的同學錯誤的運用“ＡＡＡ”來說明，這種方法是不對的，反例就用小等邊三角形和大等邊三角形每個角都是60°但小等邊三角形和大等邊三角形不全等。
4.已知一邊與其對角對應(yīng)相等，則可說明另一角對應(yīng)相等，再用“ＡＡＳ”。
如圖：在△ＡＢＣ中，Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｃ，在同一條直線上，ＡＤ=ＡＥ，∠Ｂ=∠Ｃ，
說明△ＡＢＤ與△ＡＣＥ全等。
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Ｂ Ｄ Ｅ Ｃ
分析：已知ＡＤ=ＡＥ，∠Ｂ=∠Ｃ，只要說明∠ＡＤＢ=∠ＡＥＣ或∠ＢＡＤ=∠ＣＡＥ成立。
法一解：因為ＡＤ=ＡＥ，所以∠ＡＤＥ=∠ＡＥＤ
因為∠ＡＤＢ=180°-∠ＡＤＥ，∠ＡＥＤ=180°-∠ＡＥＤ ，所以∠ＡＤＢ=∠ＡＥＣ 。 因為∠Ｂ=∠Ｃ，∠ＡＤＢ=∠ＡＥＣ，ＡＤ=ＡＥ。所以△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ
法二解：因為ＡＤ=ＡＥ，所以∠ＡＤＥ=∠ＡＥＤ。
因為∠ＢＡＤ=∠ＡＤＥ-∠Ｂ，∠ＣＡＥ=∠ＡＥＤ-∠Ｃ。所以∠ＢＡＤ=∠ＣＡＥ。因為∠Ｂ=∠Ｃ，∠ＢＡＤ=∠ＣＡＥ，ＡＤ=ＡＥ。所以△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ
以上幾種常見解題思路是解題的一般方法，但有些題不能直接運用上述方法，有的需用二次全等當然具體題目要具體對待，對于解題能力的提高還需同學們再練習中多思考、多研究。
參考文獻：
1、主編：楊裕前、懂林偉.蘇科版《數(shù)學》江蘇教育出版社.下冊Ｐ111—Ｐ119。
2、蘇科版《數(shù)學補充習題》下冊Ｐ52第五題。
3、主編：楊裕前、懂林偉.蘇科版《數(shù)學》江蘇教育出版社.下冊Ｐ119例四。
