簡述塑性力學(xué)新方法的有限元算法
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摘要：本文簡單介紹了以
曲線為理論依據(jù)的塑性力學(xué)新方法【1】的基本原理，雖然新方法與經(jīng)典方法相比具有不少優(yōu)點(diǎn)，但是只有少數(shù)情況能求得解析解，大多情況還采用近似數(shù)值方法求解，基于這個原因，本文提出了新方法的有限元算法。
論文關(guān)鍵詞：曲線,塑性力學(xué)新方法,有限元算法
1.以曲線為理論依據(jù)的塑性力學(xué)新方法簡介
在塑性力學(xué)范圍內(nèi)，彈性力學(xué)建立的平衡方程、幾何方程仍然適用，另外將應(yīng)變
分為彈性應(yīng)變
與塑性應(yīng)變
兩個部分，且彈性應(yīng)變與應(yīng)力
符合廣義虎克定律，另一方面彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變之間總存在一定的函數(shù)關(guān)系，將上述思想用函數(shù)式表示出來，即得到彈塑性問題的統(tǒng)一基本方程組：
（1）
上式中彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變關(guān)系式
而彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變之間的
關(guān)系是有規(guī)律可行的，具體包括以下兩個方面：
1）簡單加載情形，任意一條主應(yīng)變的曲線(即彈性應(yīng)變部分和塑性應(yīng)變部分關(guān)系曲線)總可以由其它主應(yīng)變的曲線沿彈性應(yīng)變
軸平移而得到（如圖1）。
圖1
2）若取簡單加載情形下的一條主應(yīng)變曲線
作為基準(zhǔn)線，則任
意應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)下應(yīng)變的彈性部分和塑性部分具有如下相關(guān)關(guān)系：
（2）
式中 
的含義如圖1所示，式（2）考慮的是應(yīng)變的絕對值。
2.塑性力學(xué)新方法的有限元算法
有限元方法求解塑性力學(xué)問題，其步驟與彈性力學(xué)問題介紹的步驟相同，為了便于分析，先考慮一個三角形單元的平面應(yīng)力問題。
1）以單元結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。設(shè)單元結(jié)點(diǎn)編碼為
、
、
，由于考慮的是平面問題，則每個結(jié)點(diǎn)在單元平面上有兩個位移分量，整個單元將有六個結(jié)點(diǎn)位移分量，用列陣表示如下：
（3）
式中 
、
表示結(jié)點(diǎn)在
軸和
軸方向的位移。
選取適當(dāng)?shù)男魏瘮?shù)
和位移模式，使單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移均可表示成單元結(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，
（4）
2）單元力學(xué)特性
利用平面問題幾何關(guān)系，可得到單元應(yīng)變分量與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式
（5）
得到應(yīng)變后，再利用廣義虎克定律，可求得單元應(yīng)力。
3）單元剛度方程
根據(jù)虛位移原理，建立表征單元結(jié)點(diǎn)位移
與結(jié)點(diǎn)力
關(guān)系的剛度方程
（6）
單元剛度矩陣的表達(dá)式為
（7）
式（7）在塑性問題中是非線性的，采用割線剛度法求解。具體步驟如下：
a.首先不考慮塑性變形，按彈性狀態(tài)計算，記此時的應(yīng)變矩陣為
，單元剛
度矩陣為
，由式（6）可初步求出此時的單元結(jié)點(diǎn)位移記為
。
b.單元力學(xué)特性分析。由式（5）求出單元應(yīng)變
，這里認(rèn)為單元應(yīng)變包括彈性應(yīng)變
與塑性應(yīng)變
兩部分。假定單元彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變之間存在如下關(guān)系：
可得單元彈性應(yīng)變與總應(yīng)變之間總存在一定函數(shù)關(guān)系，寫成關(guān)系式為
（8）
則式（5）可改寫成如下形式：
（9）
式中 
為考慮了塑性變形的應(yīng)變矩陣
（10）
求得
后，再由式（7）求得單元剛度矩陣記為
，最后由式（6）求得單元結(jié)點(diǎn)位移記為
，完成一次循環(huán)運(yùn)算。
c.重復(fù)上一步的循環(huán)運(yùn)算，直到
，停止運(yùn)算，得到較為滿意的近似解。
3.結(jié)語
以曲線為基礎(chǔ)的塑性力學(xué)新方法求解條理清楚,過程簡潔,可以求解經(jīng)典理論難以得到解析解的問題,具有較明顯的優(yōu)越性。本文以新方法為指導(dǎo)思想，提出了新方法的有限元算法，經(jīng)算例驗(yàn)證，具有一定的可行性。
參考文獻(xiàn)
1 李鈾，白世偉，李鍶等.以e-p 曲線為基礎(chǔ)的塑性力學(xué)新方法的物理解釋及應(yīng)用實(shí)例[J].巖土工程學(xué)報. 2001，23(6)：704～707
