簡析教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)的幾種思想與方法
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論文導(dǎo)讀:：針對師范院�！稊�(shù)學(xué)分析》教學(xué)現(xiàn)狀與適應(yīng)新課程的教師教育改革，提出當(dāng)前師范院校數(shù)學(xué)分析課程應(yīng)體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法的滲透與教學(xué)，這是實現(xiàn)師范院校培養(yǎng)實用型優(yōu)秀教師的有效途徑。
論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析，數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法
師范院校承擔(dān)著為國家培養(yǎng)未來教師的重任，在大力提倡實施素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的今天，師范院校的教學(xué)應(yīng)站在培養(yǎng)具有實際應(yīng)用能力的人才的高度上來改進(jìn)教學(xué)，用現(xiàn)代教學(xué)觀指導(dǎo)教學(xué)。對于數(shù)學(xué)專業(yè)而言，要提高本專業(yè)的綜合素質(zhì)，必須培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)素質(zhì)即數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)素質(zhì)主要是一種數(shù)學(xué)思維方式，它既包括邏輯思維，也包括從現(xiàn)實生活中提煉數(shù)學(xué)問題的直覺，形成數(shù)學(xué)概念的抽象，運用數(shù)學(xué)語言的能力，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的實踐以及運用數(shù)學(xué)知識去解決問題的意識和能力�！稊�(shù)學(xué)分析》是師范數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課之一，其內(nèi)容豐富，教學(xué)垮時長，對學(xué)生影響深遠(yuǎn)�！稊�(shù)學(xué)分析》不僅是學(xué)習(xí)某些后續(xù)課程的基礎(chǔ)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想，如：求切線方程、求極值、判斷函數(shù)增減性、證明不等式、求弧長等都具有很大的指導(dǎo)作用，它的基本概念、思想和方法可以說無處不在。因此在教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)都要注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透。
1．現(xiàn)狀
師范教育歷經(jīng)百年，其教育體制和模式有當(dāng)時的合理性和歷史貢獻(xiàn)，但也應(yīng)看清它的時代局限。
1.1教材內(nèi)容幾乎是純理論敘述，教師在授課時過分注重理論體系而忽視了應(yīng)用，與社會實際聯(lián)系不明顯，很難引起學(xué)生的興趣；
1.2教材內(nèi)容普遍只見定義、定理、推導(dǎo)、證明，而對思想方法則很少提及，教師在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中只重邏輯思維能力和分析運算能力的培養(yǎng)，輕培養(yǎng)學(xué)生解決問題的思想方法能力的培養(yǎng)；
1.3教師的教學(xué)方法單一，教師教育培養(yǎng)模式大多以封閉模式為主，教育理論和教育實踐嚴(yán)重脫節(jié)，照本宣科，學(xué)生提不起興趣。
這些缺陷不利于師范生形成寬厚的知識基礎(chǔ)、良好的職業(yè)技能和優(yōu)秀的綜合素質(zhì)，制約師范生職后的發(fā)展。
2．?dāng)?shù)學(xué)思想
2.1極限的思想
極限思想是數(shù)學(xué)分析的精髓，
是用來衡量
和
的接近程度的，愈小，表示接近得愈好，它除限于正數(shù)外，不受任何限制。盡管有它的任意性，但當(dāng)一經(jīng)給出，就應(yīng)暫時看作固定不變的，即又有確定性，給定以后，便可根據(jù)它來確定
。正是極限概念中扮演主要角色的的二重性，即的任意性和確定性，深刻地反映了有限與無限的對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，有機地將有限和無限、初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)結(jié)合起來。而數(shù)學(xué)分析中最重要的一些基本概念幾乎都是用極限來定義的，所以極限的正確理解對于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)分析這門課程有著重要作用。在教學(xué)中要緊緊抓住“極限”這條主線，以現(xiàn)實具體的問題為背景（如劉徽割圓術(shù)），從具體到抽象，特殊到一般的方法來介紹極限，一方面使學(xué)生對“極限”的定義有一個初步的認(rèn)識數(shù)學(xué)思想，另一方面能讓學(xué)生了解極限概念的來龍去脈，從而感受極限的思想。
2.2數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合的思想，就是充分利用形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性，通過數(shù)與形的聯(lián)系轉(zhuǎn)化來研究數(shù)學(xué)對象和解決數(shù)學(xué)問題免費論文網(wǎng)。
例如：設(shè)函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù)，證明：
若是奇函數(shù)，則
若是偶函數(shù)，則
分析：如果按課本那樣直接去證明，學(xué)生知道了這個等式可用換元法來推導(dǎo)，但是理解起來似乎不那么容易。如果用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行分析，那么結(jié)果就很明顯了。
圖1圖2
在圖1中，是奇函數(shù)，
表示由
，
及
圍成圖形的面積，
表示由，及
圍成圖形的面積，而
，
，則
于是
在圖2中，是偶函數(shù)，
表示由，及圍成圖形的面積，
表示由，及圍成圖形的面積，而
于是
在數(shù)學(xué)分析中，還有很多結(jié)論可用數(shù)形結(jié)合的思想來解決，如拉格朗日中值定理、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、利用積分區(qū)域的圖形求重積分等。在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想來得出這些結(jié)論，這要比純理論證明更好理解。而在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想同樣有著廣泛的應(yīng)用。所以對于師范院校，數(shù)學(xué)分析課程就要注重培養(yǎng)師范生這種數(shù)學(xué)思想的形成，這對他們今后的教學(xué)將會有很大的幫助。
2.3數(shù)學(xué)建模思想
培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，數(shù)學(xué)建模是有效的途徑。在信息時代，數(shù)學(xué)已經(jīng)不僅僅是一種基礎(chǔ)理論，而且還是一種可以直接產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)效益的數(shù)學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)思想，計算機給數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了深遠(yuǎn)的影響。因此，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，充分利用數(shù)學(xué)建模的思想來進(jìn)行教學(xué)，對培養(yǎng)學(xué)生觀察力、想象力、邏輯思維能力以及分析、解決實際問題的能力都起到了很好的作用。
例如，在引入無窮級數(shù)這一個概念時，可以介紹古希臘哲學(xué)家芝諾所提出的“阿基里斯追龜悖論”。芝諾的悖論在于他把阿基里斯追烏龜時，烏龜向前爬的距離分成無限段，然后一段一段加以敘述。芝諾認(rèn)為阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜，實質(zhì)就是在無限次追趕中，烏龜向前爬的距離之和為無窮大。在此提出了無限項求和的問題。此前，學(xué)生熟知的是有限項求和的概念，如何將有限轉(zhuǎn)為無限呢?很自然地就用到了極限這一概念。利用已知的有限項求和，結(jié)合極限方法，得出了無限項求和的基本方法。這樣的設(shè)計不但能更好地引進(jìn)無窮級數(shù)的概念，也能極大地激發(fā)學(xué)生的興趣。
新課程改革中強調(diào)要加強課程內(nèi)容與學(xué)生生活以及現(xiàn)代社會和科技發(fā)展的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，這就要求師范院校在教學(xué)過程中要注意將知識與實際生活多聯(lián)系，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中利用建模的思想來培養(yǎng)師范生分析、解決問題的能力就是非常有效的一個途徑。
2.4轉(zhuǎn)化的思想
將我們要解決的問題通過轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或者容易解決的問題上來，從而使問題得到解決的思想就是轉(zhuǎn)化的思想。如海涅定理實現(xiàn)了數(shù)列極限與函數(shù)極限的轉(zhuǎn)化，格林公式給出了平面上的第二型曲線積分與二重積分之間的轉(zhuǎn)化，無窮小與無窮大、廣義積分與級數(shù)、重積分與累次積分等都可進(jìn)行轉(zhuǎn)化。可見，轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)分析中常用的一種基本思想。
3. 數(shù)學(xué)方法
數(shù)學(xué)中有很多常用的方法，如類比推理法、歸納推廣法、猜想發(fā)現(xiàn)法等。在解題中，引導(dǎo)學(xué)生選取適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，也是提高學(xué)生解題能力的途徑之一，同時還可以促使學(xué)生多創(chuàng)新，得出更多的結(jié)論。
3.1歸納推廣
在《數(shù)學(xué)分析》中，數(shù)學(xué)概念是比較抽象的，學(xué)生往往不明白為什么要這樣來定義，有什么用處，所以在講授數(shù)學(xué)概念時需要讓學(xué)生理解問題是怎樣提出的，概念是如何形成的。在對相關(guān)概念進(jìn)行講授時，可通過案例教學(xué)數(shù)學(xué)思想，由學(xué)生自己歸納得出。例如，對導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容，不應(yīng)只停留在要求學(xué)生掌握幾個求導(dǎo)公式，會進(jìn)行簡單求導(dǎo)上，而應(yīng)由具有實際背景的實例來引入。導(dǎo)數(shù)概念一般是由瞬時速度和切線斜率引入的，當(dāng)然還可通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、加速度、電流強度等反映導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實例來引入，引導(dǎo)學(xué)生在實例中歸納出瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)。
再如，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)圖像，是大可結(jié)合中學(xué)實際的。就拿二次三項式的圖像的討論來說，我們知道它的圖像是一拋物線，利用導(dǎo)數(shù)知識，從
，
，
知道當(dāng)
時，曲線開口向上，是凸的，而當(dāng)
時，曲線開口向下，是凹的。當(dāng)
時，即
處函數(shù)有極值
。經(jīng)過這樣簡單的討論，利用導(dǎo)數(shù)知識，對二次三項式的圖像的認(rèn)識就更清楚了免費論文網(wǎng)。中學(xué)數(shù)學(xué)中許多極值問題的研究，正是依據(jù)二次三項式的知識引出的。而導(dǎo)數(shù)的知識給予我們一個更有力的方法，它可以推廣到解決更為廣泛的極值問題上來。在這部分的教學(xué)中，既要注意把應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決極值問題的一般原理教給學(xué)生，同時可選取一些中學(xué)課本里的極值問題給學(xué)生用新的方法去解決，進(jìn)行比較，讓學(xué)生體會出用導(dǎo)數(shù)求極值的方便之處。
3.2類比推理
類比推理法是指根據(jù)兩個問題有一部分特征相類似，從而推出其他特征也可能相類似的一種推理方法。
例如：在講函數(shù)極限的概念時，學(xué)生理解起來比較困難，但是，學(xué)生對數(shù)列極限概念比較熟悉。教師在講函數(shù)
的極限定義時，可與數(shù)列極限定義相類比來啟發(fā)學(xué)生自己給出定義。首先教師指出函數(shù)的極限與數(shù)列的極限相類似數(shù)學(xué)思想，都是描述在自變量無限增大的過程中，函數(shù)值無限接近于一個常數(shù)的變化狀態(tài)。根據(jù)這一特點，可類比數(shù)列極限定義來定義函數(shù)的極限。接著讓學(xué)生找出數(shù)列極限與函數(shù)極限的對應(yīng)關(guān)系來：
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函數(shù)關(guān)系式 |
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定義域 |
N |
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自變量的變化趨勢 |
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函數(shù)值的變化趨勢 |
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最后學(xué)生根據(jù)這個對應(yīng)關(guān)系很容易得出
的定義。這時，教師要向?qū)W生說明這種得出定義的方法是類比推理法，在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用，如廣義積分與定積分、格林公式與高斯公式等的類比，并向?qū)W生介紹類比推理法的內(nèi)涵及在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用這種方法所得出的一些重要結(jié)論，讓學(xué)生充分認(rèn)識到這種方法的重要性。
在教學(xué)中還要合理運用啟發(fā)式和發(fā)現(xiàn)猜想等方法，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、形象思維能力、發(fā)散性思維能力等。如在函數(shù)凸性的教學(xué)中可以使用直觀發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)，對于萊布尼茲公式，可先讓學(xué)生觀察
，
，
，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，上述幾個式子與二項式
展開式極為相似，則學(xué)生會猜想出，
接下來只需用數(shù)學(xué)歸納法證明這個式子是正確的。對于這個公式的理解，學(xué)生通過自己猜想、證明來得出相關(guān)結(jié)論就要比教師直接證明要有效的多。
培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，是一項細(xì)致而長遠(yuǎn)的艱巨任務(wù)。教師只有努力提高自身數(shù)學(xué)思想方法的素養(yǎng)，通過數(shù)學(xué)教學(xué)教會學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，以求達(dá)到教育的最終目的——為社會輸送高素質(zhì)的實用型的教師。
[參考文獻(xiàn)]
[1]周煥琴.論師范數(shù)學(xué)教育中的素質(zhì)教育[J]. 安康學(xué)院學(xué)報，2008，1.
[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析(第三版)[M]．高等教育出版社， 2001．
[3]戴振祥.數(shù)學(xué)分析課程如何聯(lián)系中學(xué)教學(xué)的實際[J]. 徐州教育學(xué)院學(xué)報，2008，3.
[4]林遠(yuǎn)華.數(shù)學(xué)分析課程中的數(shù)學(xué)思想方法研究[J]. 河池師專學(xué)報，2001，2.
[5]譚偉明，李連芬，蘇芳.數(shù)學(xué)思想方法與學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)[J]. 梧州學(xué)院學(xué)報，2009，6.
[6]樊仲光.新升本科院校數(shù)學(xué)分析教學(xué)的幾點思考[J]. 廣西教育學(xué)院學(xué)報，2010，2.
