植入形狀記憶合金絲的帆板的主動控制芻議
論文導讀：以植入SMA的航天器的撓性帆板為研究對象，建立了其動力學模型及主動振動控制方程。編制程序對植入SMA絲的帆板在受迫振動情況下的最優(yōu)主動控制進行了計算，并對結果進行了分析。仿真結果表明，這樣的控制規(guī)律有效抑制了帆板的振動。
關鍵詞：撓性帆板，最優(yōu)主動控制SMA，振動抑制
1.引言
新一代航天器的突出的特點是具有大型的撓性附件（包括太陽帆板、天線等）。在航天器的機動過程中, 航天器中心剛體和撓性附件之間存在著強烈的剛撓耦合, 會導致這些撓性結構的持續(xù)振動，又由于太空無大氣，不存在空氣阻尼，撓性附件的振動衰減緩慢。降低撓性結構的振動的最有效的方法是近年來發(fā)展起來的主動控制技術。SMA所特有的不同與傳統(tǒng)功能材料的力學特性和形狀記憶效應，使得其具有對環(huán)境條件的感知功能和對系統(tǒng)的驅動功能，可用作自適應結構的主動元件。因而在實際應用中常將SMA絲或顆粒埋入樹脂、金屬及復合材料的基體中，經過細觀力學原理設計制成具有分布式和驅動器功能的智能復合材料，來實現(xiàn)對結構力學行為的主動控制[1]。本文利用SMA絲在約束條件下改變其溫度[2][3]，可以產生很大恢復應力的特點。將SMA絲植入帆板中，形成SMA驅動器，采用經典線性最優(yōu)控制有效抑制了帆板的小幅度振動。
2. 嵌入形狀記憶合金絲復合材料梁的材料參數
帶有太陽帆板的航天器可以簡化為中心剛體和固連在剛體上太陽帆板（可以看成撓性梁）構成。在嵌入形狀記憶合金絲復合材料梁中，SMA絲沿梁的軸線方向鋪設，如圖1所示。
圖1 嵌入SMA絲復合材料梁的代表性結構單元
用下標“u”表示與基體相關的量，“v”表示與形狀記憶合金絲相關的量，“1”方向(x方向)表示SMA絲的方向，“2”方向（Y方向)表示SMA絲的橫向，與嵌入形狀記憶合金絲后復合材料梁相關的量不用下標。嵌入形狀記憶合金絲復合材料梁中，基體所占的體積含量比為
, SMA絲所占的體積含量比為
，則
，
（1）
式中
為復合材料梁橫截面的面積，
和
分別為基體和SMA絲在橫截面上所占面積，
。按照文獻[36]的方法，由復合材料混合率公式[89,90]可得到均勻嵌入形狀記憶合金絲復合材料梁的材料參數:
（2）
用上標“*”表示該量與SMA的本構特性有關。
3.撓性帆板的動力學模型
圖2所示為近似帶有撓性附件的航天器模型，它是由半徑為r中心剛體和均勻固連在剛體上太陽帆板（可以看成撓性梁）構成。其中懸臂梁上植入了形狀記憶合金絲。相對轉動角即姿態(tài)角
。
表示為外部控制力，其中任意點
的變形為
。主體轉動慣量為
，固支點到中心o的距離為r。
圖2 撓性航天器的結構示意圖圖3 帆板側面圖
由圖3可以看出任意時刻控制力矩。
的大小為
（3）
其中
,
分別為SMA驅動器A, B到帆板中性軸的距離，
，
分別為t時刻SMA上下驅動器中所有SMA絲拉力的合力，
,
。
, 
分別為第i和第j根SMA絲的截面積，
，
分別為第i和第j根SMA絲t時刻的應力。
當采用有限元法時，圖2所示有n個自由度的帆板的運動方程為[5]
(4)
式中,
表示撓性變形對時間的偏導，即
；
表示撓性變形對時間的二次偏導，即
；
為嵌入形狀記憶合金絲帆板的質量矩陣；
嵌入形狀記憶合金絲帆板的阻尼矩陣；
分別為嵌入形狀記憶合金絲帆板的剛度矩陣；
為nXm維控制裝置位置矩陣，當第i個自由度上裝有第j個控制裝置時，
,其余元素為0；
為外擾力的位置矩陣，在這里
,
為單位列向量。
與式(4)相對應的2n個自由度的狀態(tài)方程為:
(5)
式中，z為
維狀態(tài)反應向量，
；
為
維系統(tǒng)矩陣，
；
為
維控制裝置位置指示矩陣，
；
為表示外擾力作用的
維向量，
。其中O、
分別為n維零矩陣和n維單位矩陣。
4.最優(yōu)控制算法
式（5）為帆板的動力學方程，主動控制中，關鍵問題是如何確定控制力向量為1維控制力向量，按式（3）計算；
為1外維擾力向量。而主動控制算法是確定控制力的基礎，它的目的是使主動控制系統(tǒng)在滿足其狀態(tài)方程和各種約束的條件下，選擇合適的增益矩陣，尋找最佳的控制參數，使系統(tǒng)達到較好的性能指標，實現(xiàn)對結構的最佳控制。
對于狀態(tài)方程(5),COC算法采取如下的二次型目標函數:
(6)
其中,t0為控制開始的時間；tf為控制終止的時間；P是狀態(tài)向量權矩陣，為2nx2n維半正定矩陣；L是控制力向量權矩陣，為rxr維正定矩陣。
根據Hamiltonian極值原理，在式(6)的約束下，極小化式(6)所定義的目標函數，可得到COC的閉環(huán)控制的最優(yōu)控制力為[6]
(7)
其中，
為反饋增益矩陣，
為Riccati矩陣，有下列微分方程決定，
(8)
大量的計算經驗表明，矩陣在[t0,tf]內的很大一段時間間隔內都是常數矩陣，只是在接近tf的很短的一段時間間隔內迅速趨于零.因此，式(8)退化為非線性矩陣方程，
(9)
與此對應的控制為
(10)
將上式代入帆板運動方程得到
(11)
其中
。
5．計算程序及算例分析
為說明前述的控制方法的有效性，編制了MATLAB程序對一帆板受迫振動時的主動振動控制進行了計算機模擬。帆板的尺寸為長350mm，寬25mm，高1mm。本文選用的SMA的直徑為0.2mm，初始馬氏體百分含量為30%，初始應變?yōu)?%，環(huán)境溫度20℃,、。在本例中，每個SMA驅動器由4根SMA絲組成，每個SMA絲的編號如圖3所示。
在本文中,帆板固定端輸入的載荷為頻率為3.18Hz的余弦受迫荷載。圖4為有控和無控情況下的梁端位移時程曲線。其中虛線表示無控時，實線表示有空時。當無控時，帆板端的最大位移為10.2mm，當采取主動控制時，帆板端的最大位移減小到了0.43m,減小了95.8%，主動控制有效地抑制了帆板的振動。
圖4 受迫載荷下有空和無控時的位移時程曲線
6.結論
在航天器的機動過程中，利用本文設計的SMA驅動器，可以實現(xiàn)帆板的最優(yōu)主動控制，有效地減小帆板的振動，從而保持機動過程平穩(wěn),并迅速實現(xiàn)高精度姿態(tài)定位，改善系統(tǒng)的性能。
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