一種新型陀螺尋北儀改進(jìn)的步進(jìn)迭代法
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作者：張毅
陀螺尋北儀相對于磁羅盤的主要優(yōu)勢在于陀螺尋北儀指向真北而不是地磁北，并且不受周圍環(huán)境磁場的影響。目前，擺式陀螺尋北儀通常采用粗、精尋北相結(jié)合的方式來有效提高尋北精度和速度。粗尋北的精度在±30'左右；精尋北在工程上常使用積分法，擺幅要求3'-5'。陀螺靈敏部下放后的初始擺幅受粗尋北精度、下放穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)位誤差等因素的影響，陀螺靈敏部下放后的擺幅通常超出精尋北的范圍，因此必須采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄏ拗仆勇蒽`敏部的擺幅。
1 陀螺靈敏部擺幅的限制方法
由于使用的場合以及使用的條件不同，目前常使用4種方法限制陀螺靈敏部的擺幅，即電磁阻尼法、步進(jìn)迭代法、平衡位置跟蹤逆轉(zhuǎn)點法和油液阻尼法。表1總結(jié)了4種方法的原理及優(yōu)缺點。其中，步進(jìn)迭代法以其限幅的高可靠性、工程實現(xiàn)簡單等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用于國內(nèi)外陀螺尋北儀中，例如德國的GYROMAT系列陀螺經(jīng)緯儀，國產(chǎn)Y/JTG-1，TZB-2等。
本文提出一種改進(jìn)的步進(jìn)迭代法，根據(jù)初始下放角速度的大小選擇不同的迭代策略。首先根據(jù)陀螺靈敏部的擺動規(guī)律，結(jié)合不同的初始下放角速度分析，提出兩種不同的步進(jìn)迭代策略；然后詳細(xì)推導(dǎo)了在不同的初始方位角情況下，針對不同的初始方位角速度選擇不同的步進(jìn)迭代策略，并將兩種情況統(tǒng)一成改進(jìn)的步進(jìn)迭代法；最后通過數(shù)值仿真驗證了改進(jìn)的步進(jìn)迭代法的可行性。
2 陀螺靈敏部運動方程建立
目前，列寫擺式陀螺運動方程的方法主要有歐拉動力學(xué)方程、第二類拉格朗日方程以及動靜法。文獻(xiàn)[7 -8]針對框架式陀螺，分別使用上述3種方法列寫了陀螺儀的運動方程；文獻(xiàn)[9]通過使用陀螺的章動理論從歐拉一拉格朗日方程推導(dǎo)出陀螺的通用數(shù)學(xué)模型。
擺式陀螺尋北的動力學(xué)模型如圖1所示。陀螺靈敏部由陀螺房、懸掛柱組成，通過懸掛帶懸掛于儀器殼體O點上。O1為靈敏部的重心，懸掛點與重心O1之間的距離Z稱為傾心高，mg為靈敏部重力，HG為陀螺轉(zhuǎn)子的動量矩。
由式(2)可以得出，陀螺靈敏部轉(zhuǎn)子軸繞真北方向做有偏移的正弦擺動，偏移的位置a_常稱為擺動的平衡位置(aeq=λao)，如圖2所示。
3 步進(jìn)迭代策略的提出
文獻(xiàn)[5 -6]詳細(xì)說明了步進(jìn)法的限幅原理以及限幅的特點。方法的核心思想就是通過跟蹤逆轉(zhuǎn)點不斷地釋放懸?guī)У膹椥詣菽�，進(jìn)而減小系統(tǒng)的機(jī)械能，過程中陀螺靈敏部擺幅逐漸減小，扭力零位漸漸逼近真北。
由于下放過程不穩(wěn)定，導(dǎo)致陀螺靈敏部下放后存在初始角速度。圖3中，橫軸代表時間與真北向，縱軸代表陀螺靈敏部的方位角，3條曲線表示由于初始下放角速度的不同引起陀螺靈敏部擺動規(guī)律有所差異。紅線表示陀螺靈敏部下放后，角速度使靈敏部遠(yuǎn)離北向；藍(lán)線表示陀螺靈敏部下放后，角速度使靈敏部靠向北向；綠線表示一種比較理想的情況，即陀螺靈敏部下放角速度近似為零。由第一部分中式(2)可知：雖然陀螺靈敏部的下放角速度不同導(dǎo)致圖3的3種情況，即擺幅4和相位口不同，但是3種情況的平衡位置aeq是相同的。
首先，闡述兩種不同的步進(jìn)迭代策略。策略1：扭力零位跟蹤每一個逆轉(zhuǎn)點，傳統(tǒng)的步進(jìn)迭代法即采用這種策略。在圖4中，扭力零位會跟蹤A點，接著跟蹤下一個逆轉(zhuǎn)點A1點。策略2：在兩個逆轉(zhuǎn)點中扭力零位跟蹤距北向較近的逆轉(zhuǎn)點。在圖4中，在S.B兩個逆轉(zhuǎn)點中，扭力零位跟蹤B點。扭力零位跟蹤到A1與跟蹤到B的時間相同。因此通過比較A1與B的方位角決定采用的步進(jìn)迭代策略。
4 改進(jìn)的步進(jìn)迭代法
設(shè)陀螺靈敏部下放后的初始狀態(tài)為（x10，x20），x10表示初始方位角，x20表示初始角速度，陀螺靈敏部下放對應(yīng)的扭力零位的方位角為M，滿足M=x10。首先研究x10>0，x20>0的情況（與圖4對應(yīng)）。對于x20≤0的情況（對應(yīng)圖3中的藍(lán)線、綠線），策略1與策略2限幅效果相同。
根據(jù)第一部分上述設(shè)定的參數(shù)可以解算出：跟蹤A點后扭力零位O1的方位角為
跟蹤A后擺幅的大小為
逆轉(zhuǎn)點A1的方位角為
逆轉(zhuǎn)點B的方位角為
本文采用作商法比較逆轉(zhuǎn)點A1和B的方位角絕對值的大小，方位角越小表明限幅效果越好。
f(x)，g(x)得
于是有
對g(x)求導(dǎo)，得
函數(shù)g(x)及f(x)的函數(shù)曲線如圖5所示，圖中，虛線表示g（x），實線表示f(x)。
由x20>0，得x>（1-λ）M，且隨著x20的增大，x隨之增大。由f(x)的函數(shù)性質(zhì)，可得f(x)在（（1-λ）M，上單調(diào)增加；f(x)在(a，+∞)上單調(diào)減小，f(x)>1。
略2限幅精度要高；當(dāng)x20∈（一∞，0]，策略1與策略2限幅精度相同。
同理，對于X10 <0的情況，可以得出類似的結(jié)論。
圖6表示在不同的初始狀態(tài)下，策略l與策略2的優(yōu)先示意圖。圖中，1代表策略1，2代表策略2，上部分表示對于x10>0的情況，x20的不同取值對應(yīng)不同的步進(jìn)迭代策略；下部分表示x10<0的情況。
將上述的兩種情況歸納總結(jié)為改進(jìn)的步進(jìn)迭代法：
5仿真
為了驗證改進(jìn)步進(jìn)迭代法的可行性，根據(jù)某陀螺尋北儀的技術(shù)參數(shù)，在Matlab中對改進(jìn)步進(jìn)迭代法的限幅效果進(jìn)行仿真。不跟蹤周期T= 120 s；零位修正系數(shù)A =0. 64;粗尋北精度為30'，作為初始方位角的參考值；精尋北要求的限幅精度δ=3'。計算可以得到
在10組不同初始角速度情況下，對策略1，2分別進(jìn)行仿真，結(jié)果如表2所示。表2中：精庋表示圖4中使用不同的步進(jìn)迭代策略對應(yīng)的逆轉(zhuǎn)點A1或B的方位角大��；限幅時間表示經(jīng)過若干次限幅滿足精尋北要求的時間。
仿真結(jié)果1-7組中：初始方位角速度分布于
M=1.71的兩側(cè)。改進(jìn)步進(jìn)迭代法在1-4組對應(yīng)的初始方位角速度，使用策略2。由表中數(shù)據(jù)可以看出，策略2的限幅精度高于策略1，策略2的限幅時間短于策略1；在5 -7組使用策略1，策略1的限幅精度高于策略2，策略1的限幅時間短于策略2。表2中用加粗?jǐn)?shù)字表示改進(jìn)的步進(jìn)迭代法的仿真結(jié)果。傳統(tǒng)步進(jìn)迭代法對應(yīng)表中的策略1，可以看出，在初始角速度較小的情況下（1-4組），改進(jìn)步進(jìn)迭代法要優(yōu)于傳統(tǒng)步進(jìn)迭代法。初始角速度較大時（5 -7組），改進(jìn)步進(jìn)迭代法等同于傳統(tǒng)方法。仿真結(jié)果8 -10組表明了第三部分中，對于X20≤0的情況策略1與策略2限幅效果相同。
通過分析可以得出：上述數(shù)值仿真結(jié)果驗證了改進(jìn)步進(jìn)迭代法的可行性以及在初始角速度較小時，相對于傳統(tǒng)步進(jìn)迭代法的優(yōu)越性。
6結(jié)論
本文在傳統(tǒng)步進(jìn)迭代法的基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)步進(jìn)迭代法。首先根據(jù)不同的初始下放角速度，提出兩種不同的步進(jìn)迭代策略；然后詳細(xì)推導(dǎo)了在不同的初始方位角情況下，針對不同的初始方位角速度選擇不同的步進(jìn)迭代策略，并將兩種情況統(tǒng)一成改進(jìn)步進(jìn)迭代法；最后通過數(shù)值仿真驗證了改進(jìn)步進(jìn)迭代法的可行性與優(yōu)越性。由于改進(jìn)步進(jìn)迭代法是對傳統(tǒng)步進(jìn)迭代法在算法上的改進(jìn)，且結(jié)論簡單明了，因此無需對現(xiàn)有尋北儀的硬件結(jié)構(gòu)進(jìn)行更改，直接修改系統(tǒng)的控制程序便可投入工程應(yīng)用。
7摘 要：為了提高擺式陀螺尋北儀的限幅效率，提出了一種改進(jìn)的步進(jìn)迭代法。首先，在建立陀螺靈敏部運動方程和分析傳統(tǒng)步進(jìn)迭代法的實現(xiàn)原理的基礎(chǔ)上，根據(jù)初始下放角速度的大小提出不同的步進(jìn)迭代策略；然后詳細(xì)推導(dǎo)了改進(jìn)的步進(jìn)迭代法的實現(xiàn)原理；最后通過數(shù)值仿真驗證了改進(jìn)的步進(jìn)迭代法的可行性。數(shù)值仿真算例表明：當(dāng)初始下放角速度在一定范圍內(nèi)時，改進(jìn)的步進(jìn)迭代法相對于傳統(tǒng)的步進(jìn)迭代法限幅效率更高。改進(jìn)的步進(jìn)迭代法保留了傳統(tǒng)步進(jìn)法不需要增加系統(tǒng)硬件的優(yōu)點，回避了電磁阻尼法的電磁干擾力矩的問題，保證了限幅的可靠性，為縮短尋北時間提供理論參考。
