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論文摘要：分析了高等數(shù)學(xué)中的圖形圖像處理、數(shù)值計算及實驗數(shù)據(jù)處理等典型問題的教學(xué)特點，給出了應(yīng)用Mathematica軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾個典型案例，并采用Mathematica分別實現(xiàn)了以上典型問題的解答。
論文關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué),繪圖,計算,數(shù)學(xué)應(yīng)用
　　高等數(shù)學(xué)是高等教育階段一門重要基礎(chǔ)課，由于其嚴(yán)密的邏輯性，高度的抽象性，不少同學(xué)感到枯燥無味，只能被動接受。在數(shù)學(xué)軟件發(fā)展成熟的今天，適時地進行教學(xué)改革，運用現(xiàn)代信息技術(shù)，使傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容及方法更好適合學(xué)情與培養(yǎng)要求，已勢在必行。本文通過在高等數(shù)學(xué)教學(xué)及解決實際問題中使用Mathematica軟件輔助教學(xué)過程的幾個典型案例來加以說明。
　　1、利用數(shù)學(xué)軟件輔助圖像處理來提高教學(xué)效果
　　1.1、利用數(shù)學(xué)軟件，理解抽象內(nèi)容
　　在高等數(shù)學(xué)中很多內(nèi)容都比較抽象，學(xué)生理解起來比較困難，而借助直觀的幾何圖形，可以使抽象的數(shù)學(xué)式子與直觀形象的圖形之間建立有效的聯(lián)系，增強學(xué)生對所學(xué)知識的理解、記憶和深化。
　　案例1：設(shè)函數(shù)，試用動畫顯示其麥克勞林級數(shù)逼近它的過程。
　　解：記
　　所以，可逐步增加值，實現(xiàn)多項式逼近函數(shù)的過程。為方便觀察，將與的圖形畫在一張圖中，并用不同顏色顯示，程序如下：
　　f1[x_]:=Sin[x]
　　f2[x_,m_]:=Sum[(-1)^(k-1)*x^(2*k-1)/(2*k-1)!,{k,1,m}]
　　Do[
　　Plot[{f1[x],f2[x,m]},{x,0,8*p},PlotRange®{-2,2},PlotStyle®{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{m,1,30}]
　　
　　圖1
　　運行上述程序后，屏幕顯示了30幅圖，圖1是其中第一幅圖。選定所用圖形，按下Ctrl+Y，就可觀察到多項式隨的增大逐步逼近函數(shù)的過程。在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，函數(shù)逼近的內(nèi)容很難講清楚，而Mathematica對此做出直觀生動的解釋和模擬，使抽象的內(nèi)容可視化，學(xué)生迅速形成感知，一目了然，對函數(shù)的冪級數(shù)逼近有更直觀、更深刻的理解，達(dá)到好的教學(xué)效果。
　　1.2、利用數(shù)學(xué)軟件，驗證結(jié)論的正誤，推動知識的深化
　　高等數(shù)學(xué)中的不少知識比較抽象，推導(dǎo)都比較復(fù)雜，學(xué)生理解起來有一定困難，通過Mathematica強大的計算和繪圖功能，可輕易得到正確的結(jié)果，便于對理論學(xué)習(xí)的驗證和教學(xué)內(nèi)容的完善。
　　案例2：驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。
　　用作圖命令畫出的曲線：
　　Clear[f,x]
　　f[x_]:=4*x^3-5*x^2+x-2
　　Plot[f[x],{x,0,1}]
　　考查圖2可以發(fā)現(xiàn)它的幾個顯著特點：
　　
　　圖2
　　（1）在區(qū)間上連續(xù)；
　�。�2）在上曲線光滑（即可導(dǎo)）；
　�。�3）
　　圖2提高了教學(xué)內(nèi)容的可視性，增強教學(xué)的直觀性，深化了學(xué)生對定理的認(rèn)識。我們還可以用符號運算中的Solve命令求出滿足拉格朗日中值定理的兩個橫坐標(biāo)的值，進一步驗證命題的科學(xué)性。
　　高等數(shù)學(xué)中也有不少錯誤的命題、結(jié)論常讓學(xué)生困惑，在一元函數(shù)微分學(xué)中，已知道無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量，很多同學(xué)受到誤導(dǎo)，想當(dāng)然認(rèn)為“無窮大量與有界變量的乘積也是無窮大量”。給出下面的反例，利用Mathematica軟件作圖，使學(xué)生的觀念由似是而非到清晰正確。
　　案例3：函數(shù)在是否有界？又問當(dāng)時這個函數(shù)是否為無窮大？為什么？
　　在Mathematica的Notebook界面輸入作圖命令，得到圖2。
　　
　　圖3
　　觀察圖3可知，隨著的增大，總有這樣的，使相應(yīng)的絕對值充分大，函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處無限振蕩。因此，在有界，當(dāng)時函數(shù)不是無窮大。學(xué)生從直觀圖形中獲得感性認(rèn)識，加深了對知識的理解和體驗，發(fā)展了研究性思維能力。
　　1.3、利用數(shù)學(xué)軟件，培養(yǎng)空間想象能力
　　學(xué)生學(xué)習(xí)“重積分、曲線積分、曲面積分”等方面的問題，因涉及到許多立體曲面、曲線等，學(xué)生往往很難畫出這些復(fù)雜圖形的直觀圖，進而影響他們對問題的解決，挫傷他們學(xué)習(xí)的積極性。用Mathematica數(shù)學(xué)軟件，可以繪制出精美的三維圖形，化抽象為形象，化枯燥為生動，并有效地加強幾何直觀性，加強立體感知，使學(xué)生搭建起空間思維的模型，這對形成空間想象能力很有好處
　　案例4：畫出函數(shù)的圖形。
　　輸入：Plot3D[x^2*y/(x^2+y^2),{x,-1,1},{y,-1,1},PlotPoints®30]，輸出的結(jié)果如圖3所示。
　　
　　圖4
　　利用三維圖形可方便地使學(xué)生建立空間想象，必然為學(xué)習(xí)“重積分、曲線積分、曲面積分”等方面的內(nèi)容掃除障礙，給傳統(tǒng)的教學(xué)注入了活力。
　　2、利用數(shù)學(xué)軟件輔助復(fù)雜計算，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣
　　數(shù)學(xué)模型建立以后，需要求解與選擇數(shù)值算法，但是數(shù)值計算在理論上算法多、公式多、計算量大，且計算枯燥、繁瑣，十分影響學(xué)習(xí)興趣。 特別是來自實際問題的計算，比如工、農(nóng)業(yè)等行業(yè)遇到的各種線性規(guī)劃問題，在已經(jīng)建立好模型的情況下得到模型的最優(yōu)解，計算量一般都大得驚人，有時即使編程實現(xiàn)也很不容易。我們總是希望打通復(fù)雜計算的瓶頸，建立快速通道，盡快得到答案。Mathematica軟件提供了很好的途徑，其強大的計算功能，為解決來自實際的問題掃清了冗長繁雜計算的障礙。但是應(yīng)該看到，數(shù)學(xué)可以說是一門計算的科學(xué)，需要學(xué)生有較強思維能力的同時，手工計算能力的作用也是不容忽視的。學(xué)生計算的基本功是必備的，不能全部依靠計算工具來完成。因此，Mathematica軟件比較適合在建立數(shù)學(xué)模型解決應(yīng)用性問題時使用，學(xué)生可采用該軟件迅速實驗和驗證自己的想法，進而幫助做出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，再通過軟件對模型求解，進行結(jié)果分析，使問題解決，Mathematica可以讓學(xué)生把更多的時間和精力放在問題的分析和模型建立上。
　　案例4、線性規(guī)劃模型為，其中式中滿足下列條件：
　　
　　求解的具體方法是：輸入c={1,-2,-3};b={-6,12,20,-20};A={{-1,-1,-1},{1,-2,4},{3,2,4},{-3,-2,-4}};
　　LinearProgramming[c,A,b]
　　運行后可得={0,2,4}，得最優(yōu)解；從而最優(yōu)解。
　　該結(jié)果手工計算不易，但軟件實現(xiàn)很輕松。
　　3、利用軟件幫助學(xué)生實踐《高等數(shù)學(xué)》知識的應(yīng)用
　　《高等數(shù)學(xué)》課的目的不僅要培養(yǎng)學(xué)生具備處理各種數(shù)學(xué)運算的能力，而且更要培養(yǎng)他們“用數(shù)學(xué)”的意識和能力。在科學(xué)研究和實際工作中，常常要對表現(xiàn)函數(shù)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)進行處理，并找出能反映函數(shù)的解析表達(dá)式。建立好解析表達(dá)式以后，就可以對實驗數(shù)據(jù)以外的情況進行預(yù)測。調(diào)用Mathematica的相關(guān)計算函數(shù)，將拋開手工計算大量枯燥數(shù)據(jù)，使學(xué)生開闊眼界，真正體會到數(shù)學(xué)在實際應(yīng)用中的奇妙作用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和參與數(shù)學(xué)研究的熱情。
　　案例：最小二乘法與線性回歸，是實際中用的最多的知識之一，但因其運算量大，許多學(xué)生望而生畏。但應(yīng)用Mathematica，可以使計算的天塹變通途，使冗繁變?yōu)楹喢鳌?br> 　　案例5：在某化工生產(chǎn)過程中，為研究溫度對收率（產(chǎn)量）的影響，可測得一組數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這組數(shù)據(jù)建立與之間的擬合函數(shù)。
　　

溫度	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190
收率	45	51	54	61	66	70	74	78	85	89

表1溫度對收率的影響
　　首先，通過作散點圖可以認(rèn)為在與之間存在著線性關(guān)系。設(shè)，其中是待定的系數(shù)，將方差表示成
　　
　　式中，看作的二元二次多項式。按照二元函數(shù)求極值的理論，其最小值應(yīng)滿足方程組
　　
　　在Notebook中輸入下面的程序：
　　x=Table[100+10*i,{i,0,9}];
　　y={45,51,54,61,66,70,74,78,85,89};
　　q[a_,b_]:=Sum[(a+b*x[[k]]-y[[k]])^2,{k,1,10}]
　　Solve[{D[q[a,b],a]==0,D[q[a,b],b]==0},{a,b}]
　　這里Solve[]是對式（1）求解，運行結(jié)果為：
　　{{a®-2.73939，b®0.48303}}
　　即，從溫度與收率的線性回歸分析中可清晰看到兩者之間是正相關(guān)的。
　　Mathematica不僅使運算問題迎刃而解，也加深對數(shù)學(xué)理論的理解，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，也有利于將思考的焦點轉(zhuǎn)移到更富有創(chuàng)造性的方案設(shè)計和深層次的思考方面，對學(xué)生應(yīng)用能力提高大有幫助。理論與實踐的結(jié)合，顯有利于改善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生綜合能力和素質(zhì)。
　　結(jié)束語
　　引入Mathematica軟件進行輔助教學(xué)，豐富了教學(xué)手段，活化了學(xué)生主體，克服了傳統(tǒng)教學(xué)的許多不足，促進了教學(xué)過程的研究性，提高了教學(xué)的實際效果。恰當(dāng)結(jié)合理論教學(xué)使用Mathematica的強大功能，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的直觀性、生動性與趣味性，讓學(xué)生加深感性認(rèn)識，擴展傳統(tǒng)思考方式，使教學(xué)變得輕松易懂，同時也逐步鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)理論、計算機知識來解決實際問題的能力，是學(xué)生提高應(yīng)用技能和綜合素質(zhì)的有力嘗試。而Mathematica引人入勝的作圖功能、高速快捷的符號運算與數(shù)值計算功能，無疑給數(shù)學(xué)的應(yīng)用如虎添翼。
參考文獻(xiàn)
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