簡述數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維訓(xùn)練
2016-04-20 19:56:50 安裝信息網(wǎng)
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論文摘要：淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維訓(xùn)練
論文關(guān)鍵詞：淺談,數(shù)學(xué),教學(xué),中的,逆向
培養(yǎng)學(xué)生的思維能力歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，正向思維和逆向思維是思維的兩種基本形式，而逆向思維訓(xùn)練對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性和深刻性具有舉足輕重的作用.在教學(xué)中一般注重對學(xué)生的正向思維訓(xùn)練，而逆向思維訓(xùn)練往往重視不夠，長此以往學(xué)生的思維水平難以提高，尤其是對于那些數(shù)學(xué)功底較弱的學(xué)生，很容易造成思維上的惡性循環(huán).筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)談?wù)勛约捍譁\的體會.
一.定義教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
教科書中，作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題往往是成立的。因此，學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，如果能從逆向切入，學(xué)生不僅能對概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且還能培養(yǎng)學(xué)生雙向考慮問題的良好習(xí)慣.如在向量教學(xué)中，關(guān)于向量垂直定義為:
非零向量a、b，若a⊥b,則a·b=0.
反過來，對非零向量如果a·b=0，是否有a⊥b？
又如，逆用方程根的定義解下列兩題，比用一般方法要簡捷.
例1（1）解方程（7-4
）x
-7x+4=0
因?yàn)?-4-7+4=0,所以1是此方程的一個(gè)根,設(shè)另一根為x2，則
1·x2=
，故x2=48+28
�。�2）已知a、b為不相等的實(shí)數(shù)，且a
=7-3a,b=7-3b,求
+
的值.
顯然，a、b是方程x=7-3x的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可解之。
二．公式教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
數(shù)學(xué)中的公式都是雙向的，然而很多學(xué)生只會從左到右使用，對于逆用往往不習(xí)慣.在公式教學(xué)中，應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)公式的正用和逆用、聚合與展開.
例2求sin(
-3x)cos(
-3x)-cos(
+3x)sin(+3x)的值
分析：該題基本符合sin(
+
)展開式結(jié)構(gòu)，只是角度不符，但-3x與+3x、-3x與+3x恰是余角關(guān)系.
解原式=sin(-3x)cos(-3x)-sin(-3x)cos(-3x)
=sin(-)=
.
例3已知
,cos(-)=
,sin(+)=-
,求sin2的值.
分析：本題很自然地去逆向思考2的來源，結(jié)合已知的兩種復(fù)合角-與+，不難看出已知角與解題目標(biāo)角間的關(guān)系：
2=（+）+（-）
解：∵，∴0-,
+
∴sin(-)=
=
cos(+)=-
sin2=sin〔(+)+(-)〕
=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=-
在公式的應(yīng)用教學(xué)中，有意識地進(jìn)行雙向訓(xùn)練，可起到事半功倍之效.
3．運(yùn)算法則在教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
在運(yùn)算法則教學(xué)中進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，有利用學(xué)生對法則的掌握，在教學(xué)中要反復(fù)訓(xùn)練，如集合教學(xué)中：
如果A是B的子集,那么A∩B=A,A∪B=B，可列舉一些逆向應(yīng)用的例子.
例4若集合A={1,2,3,4},A∩B={1,2},B=?答案唯一嗎？
A={1,2,3,4},A∪B={1,2,3,4,5},B=?答案唯一嗎？
如此多角度、多向思考問題，對思維水平的提高很有益處.
4．解題教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
解題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn)，解題的首要環(huán)節(jié)是審題，只有審清了題設(shè)與題設(shè)、題設(shè)與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，才能找到解題切入點(diǎn)，從而使解題順暢。逆向思維在解題中具有舉足輕重的作用，應(yīng)予以重視。
例5已知拋物線y=mx-1上存在著以直線x+y=0為對稱軸的兩個(gè)點(diǎn)，求m的取值范圍.
分析：為了求得m的取值范圍，逆向思考條件中“兩個(gè)對稱點(diǎn)”與直線、與拋物線的內(nèi)在關(guān)系，即
（1）關(guān)于直線x+y=0對稱;
(2)均在拋物線y=mx-1上
�。�3）兩點(diǎn)的存在性.
解：∵P,Q兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y=0對稱，
可設(shè)P(x,y),Q(-y,-x),
又∵P,Q在拋物線上，則有
兩式相減得：
（x+y）[m(x-y)-1]=0
又x+y0，∴m(x-y)-1=0,即yx-
,代入（1）得：
mx-x+-1=0，
又P,Q是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，故該二次方程有異根，則△>0
解得m>
.
評析：分析思路運(yùn)用了“執(zhí)果索因”即逆向思維方法，這種方法在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用非常普遍，如平面幾何和立體幾何的證明題等等,教學(xué)中應(yīng)予以重視.
5．定理教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
不是所有定理都有逆定理，但好多定理的逆命題是成立的，甚至有些是教科書中明確的，如三垂線定理及逆定理，而有些定理的逆定理雖然教材中沒有明述，但作為逆定理在應(yīng)用，如二次方程的根與判別式的關(guān)系定理及韋達(dá)定理等，這些都是很好的教學(xué)例子，應(yīng)在教學(xué)中有意識地加以利用.
總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，強(qiáng)化逆向思維訓(xùn)練，并通過類比、引伸、拓展、舉反例等多種形式，培養(yǎng)他們從事物不同方向和不同聯(lián)系上去思考問題，使之形成習(xí)慣，對培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，拓廣思路，提高思維能力都有著十分重要的意義.
論文關(guān)鍵詞：淺談,數(shù)學(xué),教學(xué),中的,逆向
培養(yǎng)學(xué)生的思維能力歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，正向思維和逆向思維是思維的兩種基本形式，而逆向思維訓(xùn)練對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性和深刻性具有舉足輕重的作用.在教學(xué)中一般注重對學(xué)生的正向思維訓(xùn)練，而逆向思維訓(xùn)練往往重視不夠，長此以往學(xué)生的思維水平難以提高，尤其是對于那些數(shù)學(xué)功底較弱的學(xué)生，很容易造成思維上的惡性循環(huán).筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)談?wù)勛约捍譁\的體會.
一.定義教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
教科書中，作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題往往是成立的。因此，學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，如果能從逆向切入，學(xué)生不僅能對概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且還能培養(yǎng)學(xué)生雙向考慮問題的良好習(xí)慣.如在向量教學(xué)中，關(guān)于向量垂直定義為:
非零向量a、b，若a⊥b,則a·b=0.
反過來，對非零向量如果a·b=0，是否有a⊥b？
又如，逆用方程根的定義解下列兩題，比用一般方法要簡捷.
例1（1）解方程（7-4
）x-7x+4=0因?yàn)?-4
-7+4=0,所以1是此方程的一個(gè)根,設(shè)另一根為x2，則1·x2=
，故x2=48+28�。�2）已知a、b為不相等的實(shí)數(shù)，且a
=7-3a,b=7-3b,求+的值.顯然，a、b是方程x
=7-3x的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可解之。二．公式教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
數(shù)學(xué)中的公式都是雙向的，然而很多學(xué)生只會從左到右使用，對于逆用往往不習(xí)慣.在公式教學(xué)中，應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)公式的正用和逆用、聚合與展開.
例2求sin(
-3x)cos(-3x)-cos(+3x)sin(+3x)的值分析：該題基本符合sin(
+)展開式結(jié)構(gòu)，只是角度不符，但-3x與+3x、-3x與+3x恰是余角關(guān)系.解原式=sin(
-3x)cos(-3x)-sin(-3x)cos(-3x)=sin(
-)=.例3已知
,cos(-)=,sin(+)=-,求sin2的值.分析：本題很自然地去逆向思考2
的來源，結(jié)合已知的兩種復(fù)合角-與+，不難看出已知角與解題目標(biāo)角間的關(guān)系：2
=（+）+（-）解：∵
，∴0-,+∴sin(
-)==cos(
+)=-sin2
=sin〔(+)+(-)〕=sin(
+)cos(-)+cos(+)sin(-)=-在公式的應(yīng)用教學(xué)中，有意識地進(jìn)行雙向訓(xùn)練，可起到事半功倍之效.
3．運(yùn)算法則在教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
在運(yùn)算法則教學(xué)中進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，有利用學(xué)生對法則的掌握，在教學(xué)中要反復(fù)訓(xùn)練，如集合教學(xué)中：
如果A是B的子集,那么A∩B=A,A∪B=B，可列舉一些逆向應(yīng)用的例子.
例4若集合A={1,2,3,4},A∩B={1,2},B=?答案唯一嗎？
A={1,2,3,4},A∪B={1,2,3,4,5},B=?答案唯一嗎？
如此多角度、多向思考問題，對思維水平的提高很有益處.
4．解題教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
解題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn)，解題的首要環(huán)節(jié)是審題，只有審清了題設(shè)與題設(shè)、題設(shè)與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，才能找到解題切入點(diǎn)，從而使解題順暢。逆向思維在解題中具有舉足輕重的作用，應(yīng)予以重視。
例5已知拋物線y=mx-1上存在著以直線x+y=0為對稱軸的兩個(gè)點(diǎn)，求m的取值范圍.
分析：為了求得m的取值范圍，逆向思考條件中“兩個(gè)對稱點(diǎn)”與直線、與拋物線的內(nèi)在關(guān)系，即
（1）關(guān)于直線x+y=0對稱;(2)均在拋物線y=mx-1上
�。�3）兩點(diǎn)的存在性.
解：∵P,Q兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y=0對稱，
可設(shè)P(x,y),Q(-y,-x),
又∵P,Q在拋物線上，則有
兩式相減得：（x+y）[m(x-y)-1]=0
又x+y0，∴m(x-y)-1=0,即yx-
,代入（1）得：mx-x+
-1=0，又P,Q是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，故該二次方程有異根，則△>0
解得m>
.評析：分析思路運(yùn)用了“執(zhí)果索因”即逆向思維方法，這種方法在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用非常普遍，如平面幾何和立體幾何的證明題等等,教學(xué)中應(yīng)予以重視.
5．定理教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練
不是所有定理都有逆定理，但好多定理的逆命題是成立的，甚至有些是教科書中明確的，如三垂線定理及逆定理，而有些定理的逆定理雖然教材中沒有明述，但作為逆定理在應(yīng)用，如二次方程的根與判別式的關(guān)系定理及韋達(dá)定理等，這些都是很好的教學(xué)例子，應(yīng)在教學(xué)中有意識地加以利用.
總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，強(qiáng)化逆向思維訓(xùn)練，并通過類比、引伸、拓展、舉反例等多種形式，培養(yǎng)他們從事物不同方向和不同聯(lián)系上去思考問題，使之形成習(xí)慣，對培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，拓廣思路，提高思維能力都有著十分重要的意義.
關(guān)鍵字：教育
