龜兔賽跑感悟
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論文導(dǎo)讀：本文將希臘哲學(xué)家芝諾的觀點(diǎn)與龜兔賽跑的故事相聯(lián)系，并用代數(shù)、求極限及常識(shí)方法予以駁斥。
關(guān)鍵詞：龜兔賽跑
龜兔賽跑的故事盡人皆知，講的是和烏龜同時(shí)起跑的兔子因輕敵睡了一覺而輸了比賽。據(jù)說，后來兔子感到委屈，就請(qǐng)哲學(xué)家芝諾幫忙勸烏龜再比賽一次，作為交換條件，自己寧愿等烏龜跑到全程中點(diǎn)時(shí)才開始跑。烏龜欣然同意，但芝諾卻說不用比了，并有理有據(jù)地證明，兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜，烏龜肯定還會(huì)贏。兔子聽了，垂頭喪氣而去，從此再也不找烏龜比賽了。經(jīng)后人考證，芝諾是這樣證明的：當(dāng)兔子跑到全程中點(diǎn)時(shí)，烏龜已跑到前面的A點(diǎn)，當(dāng)兔子跑到A點(diǎn)時(shí)，烏龜又已跑到前面的B點(diǎn)，當(dāng)兔子跑到B點(diǎn)時(shí)，烏龜早已跑到前面的C點(diǎn)，如此以至無窮，因此兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜。我們把兔子追趕烏龜?shù)倪@種方法叫做芝諾①追趕法。
乍一想，芝諾的證明很正確，兔子輸?shù)男姆诜矡o可厚非。但憑經(jīng)驗(yàn)我們卻知道這個(gè)證明肯定是錯(cuò)的：兔子的速度是烏龜?shù)牟恢谷段灞�，怎么�?huì)連一半的距離也追不上！可芝諾的證明又錯(cuò)在哪里呢？怎樣證明兔子肯定能追上烏龜呢？下面對(duì)這個(gè)問題作簡要分析。
1、用代數(shù)的方法證明
2、用求極限的方法證明
3、由芝諾追趕法引起的思考
芝諾是歷史上第一個(gè)考慮到時(shí)空可無限分割的人，雖然所謂芝諾追趕法是虛擬的，但可由此得到以下啟示。
1）實(shí)際步驟和虛擬步驟是有區(qū)別的。實(shí)際步驟是在現(xiàn)實(shí)中獨(dú)立存在的事物進(jìn)程的一部分。例如在龜兔賽跑中兔子必須一步一步地跑，不能省掉任何一步，這里每一步就可以看作一個(gè)實(shí)際步驟，不過是重復(fù)的步驟。再如將一個(gè)籃子里的蘋果拾到另一個(gè)籃子里，每拿一個(gè)蘋果就可以看作一個(gè)實(shí)際步驟。虛擬步驟則是為了解決問題而設(shè)想的實(shí)際上并不獨(dú)立存在的步驟，在很多情況下虛擬步驟與實(shí)際步驟并沒有截然的界限。例如歷史上著名的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”設(shè)想中的“日取其半”，在最初的幾天是可行的，屬于實(shí)際步驟，但在很多天以后就不可行了。一般情況下沒有人能夠?qū)⒁缓撩椎?ldquo;棰”（假設(shè)它還能叫做棰的話）“日取其半”，再小的“棰”根本就不可能存在，更不用說“日取其半”了。論文檢測。因此，不能實(shí)際操作的“日取其半”就屬于虛擬步驟。在龜兔賽跑中兔子分別跑到全程中點(diǎn)、A點(diǎn)、B點(diǎn)、C點(diǎn)等前幾個(gè)步驟，都是可以實(shí)際存在的，屬于實(shí)際步驟，但是當(dāng)后來每個(gè)步驟跑不了一步，甚至每個(gè)步驟跑不了十分之一步或更少的時(shí)候，這之后的步驟就不是獨(dú)立存在的，就屬于虛擬步驟了。對(duì)像這樣的虛擬步驟的思考必然會(huì)墜入到“無限”的陷阱中而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。
2）芝諾混淆了步驟無限和時(shí)間無限的概念。芝諾追趕法中兔子追趕烏龜?shù)牟襟E是無限的，可以坦言，兔子經(jīng)過無限這樣的步驟也不能追上烏龜，但不能說兔子經(jīng)過無限的時(shí)間也不能追上烏龜，不能因此就得出兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)慕Y(jié)論。無限的步驟不一定要用無限的時(shí)間。芝諾就是因?yàn)樵谶@一點(diǎn)上沒有分清楚，把無限的步驟和無限的時(shí)間當(dāng)作了一回事而妄下了兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)恼摂�。這種把兩個(gè)概念混淆的錯(cuò)誤在人們思考問題尤其是數(shù)學(xué)問題時(shí)是常見的。
3）沒有將常識(shí)或經(jīng)驗(yàn)方法與推理方法相結(jié)合。推理方法容易鉆死胡同，常識(shí)或經(jīng)驗(yàn)可以為推理指出一個(gè)方向。當(dāng)然，常識(shí)或經(jīng)驗(yàn)用在推理上不一定總是對(duì)的，但經(jīng)驗(yàn)的事實(shí)卻可以作為可靠的參考。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)人們都知道，在本文中兔子是肯定可以追上烏龜?shù)�，如果芝諾稍微考慮一下曾經(jīng)驗(yàn)過的事實(shí)，就不至于得出錯(cuò)誤的結(jié)論。在一些數(shù)學(xué)計(jì)算中，常識(shí)或經(jīng)驗(yàn)還可以作為檢驗(yàn)答案正確與否的標(biāo)準(zhǔn)。既可以直接檢驗(yàn)，也可以用反推的方法檢驗(yàn)。論文檢測。例如，計(jì)算得出糧食畝產(chǎn)數(shù)千斤甚至上萬斤，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可以直接判斷該結(jié)果肯定是錯(cuò)的。再如筆者曾看到一則報(bào)道，東營市現(xiàn)在平均每天銷售汽車達(dá)六千輛，乍一看這個(gè)數(shù)據(jù)似乎沒有問題，但是經(jīng)過反推計(jì)算出的全年銷售量竟然比全市的總?cè)丝诙喑鰧⒔槐�，根�?jù)常識(shí)就可以斷定這是絕對(duì)不可能的，這個(gè)數(shù)據(jù)肯定是錯(cuò)的�？梢姡瑢⒊ＷR(shí)或經(jīng)驗(yàn)方法與推理方法相結(jié)合，有助于提高數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。論文檢測。
注：①芝諾：位移事務(wù)在到達(dá)目的地之前必須先抵達(dá)一半處；“阿克琉斯”論證：一個(gè)跑的最快的人永遠(yuǎn)追不上一個(gè)跑得最慢的人，因?yàn)樽汾s的人必須首先跑到被追的人跑的出發(fā)點(diǎn)，因此走得慢的人必然永遠(yuǎn)領(lǐng)先。
