淺談雙拉試樣裂紋擴(kuò)展過程中的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算
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論文導(dǎo)讀:：本文將使用一種界面單元來解決二維裂紋的靜態(tài)擴(kuò)展問題。這種界面單元基于虛擬裂紋閉合法，利用商業(yè)有限元軟件ABAQUS的用戶自定義單元UEL功能，發(fā)展為界面斷裂單元，計(jì)算應(yīng)變能釋放率（
和
）。在裂紋尖端的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間設(shè)置一個(gè)特殊剛度的彈簧，并引入啞節(jié)點(diǎn)計(jì)算裂紋尖端后面的張開位移和裂紋尖端前面的虛擬裂紋擴(kuò)展量。采用這種單元計(jì)算應(yīng)變能釋放率時(shí)不需要使用奇異單元或折疊單元，不會出現(xiàn)收斂問題，也不需要復(fù)雜的后續(xù)處理。因此，采用這種斷裂單元分析二維裂紋擴(kuò)展問題是方便的、高效率的，而且也能得到可靠的精度。
論文關(guān)鍵詞：虛擬裂紋閉合法，線狀裂紋，啞節(jié)點(diǎn)斷裂單元
1 引言
船體結(jié)構(gòu)需要足夠的安全性和可靠性，以便最大程度的減少由于船舶斷裂事故所造成的人員傷亡、財(cái)產(chǎn)損失和環(huán)境污染。盡管斷裂力學(xué)的發(fā)展已經(jīng)對此做出了巨大貢獻(xiàn)，然而船體解體斷裂的事故仍未消失。圖1給出了兩艘油輪斷裂為兩截的照片。由此可見，相隔六十多年之后，類似的事故還在發(fā)生。防止船體結(jié)構(gòu)大規(guī)模斷裂事故的手段之一是使用高強(qiáng)鋼[1-3]和船體止裂鋼[4-7]。對于這類船用鋼，小尺度的標(biāo)準(zhǔn)斷裂試樣難以有效的用來評估船體結(jié)構(gòu)的抗斷能力。因此，全板厚的雙拉試驗(yàn)就成為研究船體結(jié)構(gòu)鋼止裂能力的重要手段。
圖1 (a) Schenectady號油輪斷裂為兩截 (1943年); (b) Elli號油輪斷裂為兩截(2009年)
圖2給出了雙拉試驗(yàn)的典型試樣示意圖[1]。該試樣由試驗(yàn)段和加載段組成。主載荷（也就是試樣段的工作載荷）通過加載段作用在試驗(yàn)段上。副載荷直接作用在試驗(yàn)段上，主要用來觸發(fā)裂紋起裂。通常會在試驗(yàn)段上施加溫度梯度。當(dāng)裂紋進(jìn)入較高的溫度區(qū)域后，有可能止裂。
圖2雙拉試驗(yàn)典型試樣示意圖
本文采用通用商業(yè)有限元軟件ABAQUS，計(jì)算雙拉試樣裂紋擴(kuò)展過程中應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長度的變化。將Xie和Biggers[8, 9]提出的啞節(jié)點(diǎn)斷裂單元布置在裂紋擴(kuò)展路徑上。該單元以虛擬裂紋閉合法(VCCT)為計(jì)算基礎(chǔ)，通過ABAQUS用戶自定義單元UEL實(shí)現(xiàn)。將計(jì)算結(jié)果與解析解和他人的數(shù)值結(jié)果相比較，證實(shí)的計(jì)算模型和計(jì)算結(jié)果的可靠性，為進(jìn)一步開展雙拉試驗(yàn)奠定基礎(chǔ)。
2 啞節(jié)點(diǎn)斷裂單元
圖3 啞節(jié)點(diǎn)斷裂單元的定義與節(jié)點(diǎn)編號
圖3 給出了啞節(jié)點(diǎn)斷裂單元的定義與節(jié)點(diǎn)編號。圖中的節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)4、以及節(jié)點(diǎn)5和節(jié)點(diǎn)6分別是重合的，及圖中的間隙在有限元模型中其實(shí)是不存在的。在節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2之間放置特殊剛度的彈簧，用來計(jì)算節(jié)點(diǎn)力
和
；而節(jié)點(diǎn)3至節(jié)點(diǎn)6對單元的剛度矩陣并沒有貢獻(xiàn)，它們的引入僅僅是為了提取相關(guān)信息以計(jì)算節(jié)點(diǎn)張開位移
和
以及虛擬裂紋擴(kuò)展量
，因而稱為“啞節(jié)點(diǎn)” [8, 9]。
根據(jù)虛擬裂紋閉合法[10]，I型裂紋的應(yīng)變能釋放率可計(jì)算如下：
，(1)
其中
為裂紋體的厚度。對于線彈性材料而言，可以將能量釋放率轉(zhuǎn)化為應(yīng)力強(qiáng)度因子：
(2)
式中：對于平面應(yīng)力狀態(tài)線狀裂紋，
；對于平面應(yīng)變狀態(tài)，
，
和
分別為材料的彈性模量和泊松比。
虛擬裂紋閉合法具有對有限元網(wǎng)格尺寸不敏感和對裂紋尖端不需要特殊處理等優(yōu)點(diǎn)，體現(xiàn)了計(jì)算精度和計(jì)算效率的有效平衡。
3算例
3.1無限長板條中平分板條的半無限長裂紋實(shí)例[4]
寬度為
（
=10mm）的無限長板，有一平分板條的半無限長裂紋，沿長邊有一位移
，如圖2所示。其中應(yīng)力強(qiáng)度因子為
圖2 無限長板條有一平分板條的半無限長裂紋
(10)
對于平面應(yīng)力單元
(11)
其中為泊松比，
為材料的剪切彈性模量。材料屬性為：彈性模量
MP、泊松比
，線性膨脹系數(shù)
。沿Y軸方向拉伸長度
mm，平分板條的半無限長裂紋開始擴(kuò)展，得解析解
，虛擬裂紋閉合法的計(jì)算結(jié)果
，兩者皆為常數(shù)，相對誤差為-4.6%。裂紋擴(kuò)展前尖端的斷裂單元和裂紋張開后的斷裂單元（局部放大圖）如圖3所示。
無限長板的兩條長邊固定，整個(gè)板的溫度降低
，采用虛擬裂紋閉合法的計(jì)算結(jié)果為論文參考文獻(xiàn)格式。由此，可以得出無限長板溫度降低
時(shí)，平分板條的半無限長裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子為：
(12)
圖3裂紋擴(kuò)展前尖端的斷裂單元和裂紋張開后的斷裂單元（局部放大圖）
3.2 靜態(tài)裂紋擴(kuò)展驗(yàn)證實(shí)例
下面以單邊缺口拉伸試樣為例，采用平面應(yīng)力單元（ABAQUS標(biāo)準(zhǔn)單元CPS4）和平面應(yīng)變單元（ABAQUS標(biāo)準(zhǔn)單元CPE4）分別施加均布應(yīng)力和固定位移兩種邊界載荷條件進(jìn)行計(jì)算，并將起計(jì)算結(jié)果和解析解相比較。
試樣長度為80、寬度20、厚度為1。由于試樣的對稱性，只對右半邊劃分網(wǎng)格，所用的單元數(shù)為40×80。其應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式為
， 
(13)
式中的形狀因子函數(shù)為
(14)
圖4 單邊缺口拉伸試樣應(yīng)力強(qiáng)度因子
圖5 長寬相等的單邊缺口拉伸試樣應(yīng)力強(qiáng)度因子
CPS4單元施加固定位移CPS4單元施加均布載荷
圖6 CPS4單元分別施加固定位移和均布載荷裂紋擴(kuò)展圖
圖7 長寬比2：1的單邊缺口拉伸試樣應(yīng)力強(qiáng)度因子
由圖4可知，
為試樣施加均布應(yīng)力的解析解；
為試樣施加固定位移的解析解。無論是采用平面應(yīng)力單元和平面應(yīng)變單元進(jìn)行分析，和解析解吻合的都很好。說明了應(yīng)用虛擬裂紋閉合法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子是可靠的。當(dāng)在試樣上施加均布應(yīng)力時(shí)，試樣的應(yīng)力強(qiáng)度因子增加的速率要比施加固定位移時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子增加的速率大，而且裂紋擴(kuò)展到末端時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子急劇增加，施加固定位移的應(yīng)力強(qiáng)度因子在整個(gè)裂紋擴(kuò)展過程中增加相對平穩(wěn)。
圖5試樣的長寬比為1:1，厚度為20mm，所用的網(wǎng)格尺寸為10mm，采用平面應(yīng)力單元和平面應(yīng)變單元分別施加均布應(yīng)力和固定位移兩種邊界載荷條件進(jìn)行計(jì)算。無論是采用CPS4單元還是CPE4單元計(jì)算的結(jié)果都和解析解吻合的很好，而且兩者的計(jì)算結(jié)果也吻合很好。CPS4單元分別施加固定位移和均布載荷裂紋擴(kuò)展圖如圖6所示。圖4中試樣長寬比4：1，圖7中試樣的長寬比為2：1，圖5中試樣的長寬比為1：1，兩者的計(jì)算結(jié)果都和解析解吻合的很好，說明了應(yīng)用虛擬裂紋閉合法在計(jì)算長寬比不同的試樣的應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)，都能得到較為精確的計(jì)算結(jié)果。
圖8為將圖7兩邊沿長度方向上延長至兩圓心的間距為3500mm，延長[5]部分板的厚度為30mm，分別采用CPS4單元還是CPE4單元在圓心處使用銷接觸，并施加固定位移線狀裂紋，并將計(jì)算得到的結(jié)果與解析解相比較。
圖8 試樣的整體外形
圖9 有限元計(jì)算結(jié)果
由圖9計(jì)算結(jié)果可見，試樣計(jì)算結(jié)果與參考文獻(xiàn)給出的靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子值吻合的很好，并且兩者介于兩種解析解之間，這是由于在試樣延長部分上施加固定位移，延長部分受力的作用，在試樣中間部分既不是施加均布應(yīng)力，也不是施加位移，而是介于兩者之間。
3.3 熱彈性問題的應(yīng)力強(qiáng)度因子
無限大板內(nèi)含有一半徑R=10mm的圓孔[6]，在板的Y軸方向上有一裂紋，板受均勻熱流。模型采用CPS4T單元。具體建模方式如圖1。中心部分的單元沿徑向方向鋪設(shè)，建模方式如圖10
整體有限元模型 局部放大圖
圖10 無限大板的有限元模型
模型的材料屬性為：彈性模量
、線膨脹系數(shù)
。模型下端溫度
℃，上端溫度
℃。模型的長寬都為524.44mm。使用有限元計(jì)算該熱彈性問題的應(yīng)力強(qiáng)度因子。計(jì)算后的溫度場和裂紋擴(kuò)展后的局部放大圖如圖11所示。
模型的溫度場分布裂紋擴(kuò)展圖
圖11 溫度場分布及裂紋擴(kuò)展圖
參考《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊》中受均勻熱流的孔邊裂紋的解析解
式中
(16)
圖12 溫度延寬度方向線性變化
圖13 F隨a/R變化曲線
為不受干擾時(shí)的溫度梯度，
隨
的變化見圖13，此模型中
。
圖12清晰的表明，溫度場沿均勻熱流方向線性變化，即溫度梯度為常數(shù)。模型在常物性、無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱條件下計(jì)算得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子如圖14所示。將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與參考解相比較，兩者吻合的很好。最大相對誤差為-3.88%。說明了用虛擬裂紋閉合法計(jì)算關(guān)于這種熱彈性問題的應(yīng)力強(qiáng)度因子是相對可靠的。
圖14 有限元計(jì)算結(jié)果
4結(jié)論
本文說明了斷裂單元在解決二維裂紋擴(kuò)展中應(yīng)用，驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性。采用這種單元計(jì)算應(yīng)變能釋放率時(shí)不需要使用奇異單元或折疊單元，不會出現(xiàn)收斂問題，也不需要復(fù)雜的后續(xù)處理，說明了采用這種斷裂單元分析二維裂紋擴(kuò)展問題是方便的、高效率的。隨著有限元軟件的發(fā)展，虛擬裂紋閉合法分析工程結(jié)構(gòu)的斷裂問題已成為了一個(gè)趨勢。
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