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論文摘要：本文針對(duì)輸油管的布置問題，運(yùn)用圖解法建立優(yōu)化模型，并依據(jù)所給的數(shù)據(jù)，運(yùn)用幾何知識(shí)，計(jì)算出方案的具體解，對(duì)題目中的具體問題，建立優(yōu)化模型，用lingo軟件編寫程序，從而得出鋪設(shè)管線最省的方案
論文關(guān)鍵詞：層次分析法,權(quán)重,優(yōu)化方案,非線性規(guī)劃,線性規(guī)劃,軟件
　　問題提出
　　1．問題背景
　　某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來(lái)運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。
　�。�1）兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì)方案。若用共用管線還應(yīng)考慮共用管線與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情況。
　�。�2）需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a=5，b=8，c=15，l=20。
　　若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬(wàn)元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示：
　　

工程咨詢公司	公司一	公司二	公司三
附加費(fèi)用（萬(wàn)元/千米）	21	24	20

（3）為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元，拆遷等附加費(fèi)用同上。
　　2問題分析
　　對(duì)于問題1:要設(shè)計(jì)輸油管線的最優(yōu)鋪設(shè)方案，根據(jù)共用管線與非共有管線單位費(fèi)用是否相同以及是否有共用管線，找出費(fèi)用最少的鋪設(shè)方案，即是鋪設(shè)線路最短。所以，要是費(fèi)用最低，應(yīng)該設(shè)計(jì)鋪設(shè)線路最短的方案，
　　對(duì)于問題2：已知兩煉油廠的具體位置，求費(fèi)用最低的鋪設(shè)線路的方案，是一個(gè)非線性規(guī)劃問題。解決的問題是首先確定附加費(fèi)用的大小，然后確定非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。
　　對(duì)于問題3：在問題二的基礎(chǔ)上，改變目標(biāo)函數(shù)中相關(guān)系數(shù)即可得到最優(yōu)解。
　　3模型假設(shè)
　　（1）假設(shè)B煉油廠離鐵路的距離大于等于A煉油廠的距離。
　�。�2）車站的位置由方案最優(yōu)解所確定。
　�。�3）鐵路線是筆直的；
　�。�4）管道的市廠價(jià)格穩(wěn)定；
　�。�5）兩煉油廠A、B及車站所在位置視為三個(gè)質(zhì)點(diǎn)；
　�。�6）三個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于同一平面內(nèi)
　　4符號(hào)說明
　　A表示煉油廠1；
　　B表示煉油廠2；
　　E表示站點(diǎn)；
　　x軸表示鐵道；
　　a表示煉油廠A到鐵路線的垂直距離；
　　b表示煉油廠B到鐵路線的垂直距離；
　　c表示A、B間相對(duì)于鐵路的水平距離；
　　z表示鋪設(shè)管道的路線總長(zhǎng)度；
　　W表示鋪設(shè)管道所用的總費(fèi)用；
　　表示共用管線與非共用管線費(fèi)用相同時(shí)每千米的單價(jià)；
　　表示共用管線與非共用管線費(fèi)用不相同時(shí)，共用管線每千米的單價(jià)；
　　表示共用管線與非共用管線費(fèi)用不同時(shí)，非共用管線每千米的單價(jià)；
　　5模型的建立與求解
　　5.1問題1模型的建立與求解
　　由兩廠A、B向鐵道做垂線，A與B垂線間的距離為c，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖1至圖4）,設(shè)點(diǎn)A，B。
　　5.1.1當(dāng)時(shí),輸油管線的設(shè)計(jì)方案
　　當(dāng)c=0時(shí)，煉油廠A，B在一條垂直于鐵路的直線上，因此得方案1（如圖1）：將車站建在坐標(biāo)原點(diǎn),鋪設(shè)共用管線OA及非共用管線AB。此時(shí)鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小為，即鋪設(shè)管線總費(fèi)用最省。
　　當(dāng)共用管線與非共用管線單位費(fèi)用相同時(shí)，最少費(fèi)用為：
　　當(dāng)共用管線與非共用管線單位費(fèi)用不同時(shí)，最少費(fèi)用為：0
　　
　　圖1圖2
　　5.1.2當(dāng)時(shí)，輸油管線的設(shè)計(jì)方案
　�。�1）若不鋪設(shè)共用管線
　　如圖2,作點(diǎn)A關(guān)于x軸(鐵路線)的對(duì)稱點(diǎn)，連接B與X軸交于點(diǎn)E，易求E,依據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”可知EA與EB長(zhǎng)度之和最小。因此可得方案2：如圖2,將車站建在E點(diǎn),鋪設(shè)非共用管線EA及EB。此時(shí)鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小為，即鋪設(shè)管線總費(fèi)用最省。最少費(fèi)用為：
　�。�2）若鋪設(shè)共用管線
　　問題的目標(biāo)是鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小，因此鋪設(shè)管線共用管線最合理的方式是共用管線與鐵路線垂直。如圖3，設(shè)三管線的聯(lián)結(jié)點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作平行于x軸的直線L。首先在在直線L上尋找使QA與QB長(zhǎng)度最小的點(diǎn)Q，與（1）同理作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)B與直線L交于點(diǎn)Q,Q即為所尋找點(diǎn)。
　　
　　圖3圖4
　　因此，鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度為：
　　，此時(shí)應(yīng)有，令
　　得駐點(diǎn)。
　　當(dāng)，即時(shí)，，z取得最小值。此時(shí)易求,。
　　因此可得方案3：將車站建在點(diǎn)E（）,鋪設(shè)共用管線EQ及非共用管線QA與QB。此時(shí)鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小為，即鋪設(shè)管線總費(fèi)用最省；
　　共用管線單位費(fèi)用與非共用管線單位費(fèi)用相同
　　共用管線單位費(fèi)用與非共用管線單位費(fèi)用不同時(shí)
　　②當(dāng)，即時(shí),，所以z在y上為增函數(shù)，所以當(dāng)y=0時(shí)，z取得最小值。 此時(shí)按方案2鋪設(shè)管線總費(fèi)用最省。
　�、郛�(dāng)，即時(shí),，所以z在y上為減函數(shù)，故當(dāng)y=a時(shí)，z取得最小值。因此可得方案4：如圖4，將車站建在坐標(biāo)原點(diǎn),鋪設(shè)共用管線OA及非共用管線AB。此時(shí)鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小為，即鋪設(shè)管線總費(fèi)用最省。
　　共用管線單位費(fèi)用與非共用管線單位費(fèi)用相同時(shí)
　　共用管線單位費(fèi)用與非共用管線單位費(fèi)用不同時(shí)
　　綜上可得，針對(duì)a、b、c不同關(guān)系下的各種情形，得管線鋪設(shè)的最佳方案如下：
　　

a、b、c的關(guān)系
最佳方案選 擇	方案4	方案3	方案2	方案1
最低費(fèi) 用W

（3）若鋪設(shè)共用管線且共用管線單位費(fèi)用與非共用管線單位費(fèi)用不同
　　設(shè)共用管線單位費(fèi)用為非共用管線單位費(fèi)用的倍，即=。
　　運(yùn)用（2）所用方法同理可得各種情形下管線鋪設(shè)的最佳方案：求得
　　，，E（，0），Q(,)
　　

C的取值
方案選擇	方案4	方案3	方案2	方案1
最低費(fèi)用W

5.2問題2模型的建立與求解
　　5.2.1對(duì)各因素權(quán)重的確定
　　通過引入兩個(gè)因素對(duì)附加費(fèi)用影響的程度大小的比值得到成對(duì)比較矩陣如下：
　　
　　其中=2即表示公司一和公司二對(duì)附加費(fèi)用的影響之比為2:1；=1即表示公司二和公司三對(duì)附加費(fèi)用的影響之比為1:1。求出對(duì)比矩陣的最大特征根為，對(duì)應(yīng)的特征向量歸一后為
　　
　　即3種因素在弊端指數(shù)中所占的權(quán)重，由此我們可以得到
　　所以附加費(fèi)用為：
　　5.2.2模型建立與求解
　　
　　圖6圖7
　　設(shè)點(diǎn)，則鋪設(shè)管線的總長(zhǎng)度為（如圖6）：
　　
　　建立目標(biāo)函數(shù)：Min
　　約束條件：
　　輸入lingo2（見附錄）程序得到：萬(wàn)元（如圖7)。
　　5.3問題3的模型建立與求解
　　5.3.1模型建立
　　如圖6所示，建立目標(biāo)函數(shù)：
　　Min約束條件:0
　　輸入lingo4（見附錄）程序得：萬(wàn)元
　�。ㄈ缦聢D）。
　　
　　6模型評(píng)價(jià)
　　6.1模型的優(yōu)點(diǎn)：
　　1模型原理簡(jiǎn)單明了，容易理解
　　2運(yùn)用lingo程序進(jìn)行計(jì)算，是計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。
　　3模型原理簡(jiǎn)單明了，容易理解
　　6.2模型缺點(diǎn)：對(duì)問題一考慮情形不完全。