淺析抗震分析中的多點(diǎn)激勵問題
2016-04-27 16:37:18 安裝信息網(wǎng)
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摘 要：本文針對工程抗震分析中大跨度結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵問題的分析方法進(jìn)行了理論總結(jié)，并結(jié)合實(shí)際算例，對采用相對運(yùn)動法和大質(zhì)量法進(jìn)行多點(diǎn)激勵問題分析的計(jì)算結(jié)果與精確解進(jìn)行了研究對比，給出了相關(guān)的結(jié)論。
關(guān)鍵詞：多點(diǎn)激勵 相對運(yùn)動法 大質(zhì)量法
一、引言
地震時(shí)震源釋放的能量以地震波的形式經(jīng)過不同的路徑、地形和介質(zhì)傳播至地表，由于波的傳播特性導(dǎo)致地震地面運(yùn)動具有隨時(shí)間和空間不斷變化的特征。通常在結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析中，只是考慮地震地面運(yùn)動的時(shí)變特性，而忽略地震地面運(yùn)動隨空間變化所帶來的影響。對于高層與高聳結(jié)構(gòu)、中小跨度橋梁等在水平面內(nèi)的幾何尺寸比較小的結(jié)構(gòu)物來說，地震地面運(yùn)動的空間效應(yīng)影響很小，計(jì)算結(jié)果能夠滿足工程需要 [1]。
但對于大跨度結(jié)構(gòu)，由于跨越尺度較大，不同支承點(diǎn)處輸入的地震地面運(yùn)動則存在著一定的差異，從而對結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)有一定的影響。由于不同支承點(diǎn)處輸入的地面運(yùn)動存在著差異，但從結(jié)構(gòu)分析的力學(xué)機(jī)理來說都是一致的，因此統(tǒng)稱為多點(diǎn)激勵效應(yīng)�？紤]多點(diǎn)激勵使得大跨度結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析更加符合實(shí)際情況，顯得更為合理[2]。
二、多點(diǎn)激勵動態(tài)時(shí)程分析方法的應(yīng)用
大跨度結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵動態(tài)時(shí)程分析的方法主要有相對運(yùn)動法（RMM，Relative Motion Method）和大質(zhì)量法（LMM，Large Mass Method）[3]。
1．相對運(yùn)動法
對于多自由度體系，多維多點(diǎn)輸入的地震反應(yīng)動力平衡方程為
�。�1）
式中[M]、[C]、[K]分別是結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，、、分別為結(jié)構(gòu)的絕對位移向量、速度向量和加速度向量，為地震作用引起的外荷載向量。設(shè)橋梁結(jié)構(gòu)支承點(diǎn)相應(yīng)于地震動輸入的自由度數(shù)為，非支承點(diǎn)的自由度數(shù)為，在絕對坐標(biāo)系下，式（1）的動力平衡方程可寫為分塊矩陣的形式，即
（2）
式中、、和、、分別表示支承點(diǎn)和非支承點(diǎn)處的位移、速度和加速度向量。將結(jié)構(gòu)的絕對
位移分解為準(zhǔn)靜力響應(yīng)和動力響應(yīng)
之和，其中非支承點(diǎn)處的準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)定義為
（3）
式（3）的力學(xué)意義為結(jié)構(gòu)支座節(jié)點(diǎn)的靜位移引起的結(jié)構(gòu)非支承點(diǎn)處的位移，即所謂的準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)。將式（3）代回式（2）的第一個(gè)方程可得
（4）
當(dāng)假定阻尼矩陣正比于剛度矩陣時(shí)，上式右邊第二項(xiàng)為；當(dāng)阻尼為其它形式并且較小時(shí)，此項(xiàng)也很小，因此可以從上式中略去[3]。由此可以近似得到
（5）
對集中質(zhì)量體系，，式（5）變?yōu)?br>
（6）
采用此式進(jìn)行動力計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)在于只需要根據(jù)支承點(diǎn)處的加速度時(shí)程就可以進(jìn)行計(jì)算得到非支承點(diǎn)處的動力響應(yīng)，而不需要知道速度向量和位移向量。
2．大質(zhì)量法
大質(zhì)量法是對結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行動力等效的一種分析方法，這種方法在處理多點(diǎn)激勵問題時(shí)需要解除支承點(diǎn)沿地震作用方向的約束，并賦予節(jié)點(diǎn)大質(zhì)量，其數(shù)值通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)體系的總體質(zhì)量，此時(shí)式（2）中支承點(diǎn)處的質(zhì)量矩陣應(yīng)改為，其中的表達(dá)式為
（7）
式中為第個(gè)支承點(diǎn)所賦予的節(jié)點(diǎn)大質(zhì)量。同時(shí)為了強(qiáng)迫支承點(diǎn)處的動力響應(yīng)時(shí)程與初始模型保持一致，在各節(jié)點(diǎn)大質(zhì)量上作用隨時(shí)間變化的節(jié)點(diǎn)荷載，其中為各支承點(diǎn)處輸入的加速度時(shí)程，由此式（2）的動力平衡方程可以改為
（7）
由式（7）的第二個(gè)方程可以得到支承點(diǎn)處的加速度，即支承點(diǎn)處的加速度響應(yīng)時(shí)程與輸入的多點(diǎn)激勵加速度時(shí)程基本保持一致。對比式（2）和式（7）的第一個(gè)方程，可知當(dāng)相同時(shí)，由該兩個(gè)方程求得的非支承點(diǎn)處的動力響應(yīng)、、是一致的。
由于大質(zhì)量法在求解過程中不涉及位移的分解，因此采用大質(zhì)量法求解結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激振下的動力響應(yīng)，可以通過直接積分的方法得到結(jié)構(gòu)的總體地震反應(yīng)，即相對位移法中準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)和動力響應(yīng)的和，大質(zhì)量法可以適用于非線性分析。
三、計(jì)算實(shí)例
兩點(diǎn)激勵，已知，，計(jì)算模型如下：
圖1 兩點(diǎn)激勵
1．精確解
動力平衡方程
（8）
、、為絕對位移， 、可以通過對、積分并考慮初始加速度和初始位移為零求得：
（9）
�。�10）
將式（9）、（10）代入式（8）求解得到質(zhì)點(diǎn)m絕對位移的解為：
（11）
2．相對運(yùn)動法
當(dāng)采用相對運(yùn)動法時(shí)=1，=2
�。�14）
（15）
由式（3）可得
（16）
由式（6）可得
= （17）
求解可得
�。�18）
（19）
由此可見，由相對運(yùn)動法計(jì)算得到的結(jié)果與精確解完全吻合。
2．大質(zhì)量法
本文在采用大質(zhì)量法時(shí)，運(yùn)用通用有限元程序Strand7建立圖1所示的動力分析模型，得到質(zhì)點(diǎn)m的絕對位移動力響應(yīng)如圖2所示，可見大質(zhì)量法的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)于精確解。
2 質(zhì)點(diǎn)m的絕對位移動力響應(yīng)
四、結(jié)論
對比LMM和RMM的整個(gè)求解過程，可以看出兩種方法具有以下的優(yōu)缺點(diǎn)[4]：
1．RMM的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在求解方法具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)，且由于RMM在求解過程中將結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)分解為準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)和動力響應(yīng)，因此可以得到地震作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的一些附屬信息，有助于理解地震作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的本質(zhì)；
2．RMM將結(jié)構(gòu)總響應(yīng)分解為準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)和動力響應(yīng)，為了得到地震作用下的結(jié)構(gòu)總響應(yīng)，需要求解準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)，因此要對地面加速度時(shí)程進(jìn)行積分；
3．RMM不能直接采用通用有限元程序?qū)崿F(xiàn)；
4．RMM求解結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)時(shí)，依然基于準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)和動力響應(yīng)的疊加，因此不能用于對結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性分析；
5．LMM的優(yōu)缺點(diǎn)是相對于RMM而言的。LMM的缺點(diǎn)在于求解方法并沒有經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，僅通過在力學(xué)意義上對結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行等效來求得結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)，且大質(zhì)量的取值應(yīng)根據(jù)實(shí)際的結(jié)構(gòu)模型分析結(jié)果來確定，當(dāng)大質(zhì)量的數(shù)值大于某個(gè)數(shù)值時(shí)，結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析結(jié)果會出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。但LMM的優(yōu)點(diǎn)恰恰表現(xiàn)在它能夠克服RMM中出現(xiàn)的缺點(diǎn)，運(yùn)用LMM并采用通用有限元程序來求解可以更加方便快捷地得到結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)，且求解結(jié)果接近于地震作用下的結(jié)構(gòu)真實(shí)總響應(yīng)。
參考文獻(xiàn)
[1] 范立礎(chǔ)等．非一致地震激勵下大跨度斜拉橋的響應(yīng)特征.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)．2001，18（3）：358～363．
[2] 潘旦光等．多點(diǎn)輸入下大跨度結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析研究現(xiàn)狀.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào).2001，29（10）：1213～1219．
[3] 胡聿賢．地震工程學(xué)．北京：地震出版社，1988．
[4] P.Leger, I.M.Ide and P.Paultre. Multiple-support Seismic Analysis of Large Structures. Computers & ．Structures.1990, 36, 1153-1158．
關(guān)鍵詞：多點(diǎn)激勵 相對運(yùn)動法 大質(zhì)量法
一、引言
地震時(shí)震源釋放的能量以地震波的形式經(jīng)過不同的路徑、地形和介質(zhì)傳播至地表，由于波的傳播特性導(dǎo)致地震地面運(yùn)動具有隨時(shí)間和空間不斷變化的特征。通常在結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析中，只是考慮地震地面運(yùn)動的時(shí)變特性，而忽略地震地面運(yùn)動隨空間變化所帶來的影響。對于高層與高聳結(jié)構(gòu)、中小跨度橋梁等在水平面內(nèi)的幾何尺寸比較小的結(jié)構(gòu)物來說，地震地面運(yùn)動的空間效應(yīng)影響很小，計(jì)算結(jié)果能夠滿足工程需要 [1]。
但對于大跨度結(jié)構(gòu)，由于跨越尺度較大，不同支承點(diǎn)處輸入的地震地面運(yùn)動則存在著一定的差異，從而對結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)有一定的影響。由于不同支承點(diǎn)處輸入的地面運(yùn)動存在著差異，但從結(jié)構(gòu)分析的力學(xué)機(jī)理來說都是一致的，因此統(tǒng)稱為多點(diǎn)激勵效應(yīng)�？紤]多點(diǎn)激勵使得大跨度結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析更加符合實(shí)際情況，顯得更為合理[2]。
二、多點(diǎn)激勵動態(tài)時(shí)程分析方法的應(yīng)用
大跨度結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵動態(tài)時(shí)程分析的方法主要有相對運(yùn)動法（RMM，Relative Motion Method）和大質(zhì)量法（LMM，Large Mass Method）[3]。
1．相對運(yùn)動法
對于多自由度體系，多維多點(diǎn)輸入的地震反應(yīng)動力平衡方程為
�。�1）
式中[M]、[C]、[K]分別是結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，、、分別為結(jié)構(gòu)的絕對位移向量、速度向量和加速度向量，為地震作用引起的外荷載向量。設(shè)橋梁結(jié)構(gòu)支承點(diǎn)相應(yīng)于地震動輸入的自由度數(shù)為，非支承點(diǎn)的自由度數(shù)為，在絕對坐標(biāo)系下，式（1）的動力平衡方程可寫為分塊矩陣的形式，即
（2）
式中、、和、、分別表示支承點(diǎn)和非支承點(diǎn)處的位移、速度和加速度向量。將結(jié)構(gòu)的絕對
位移分解為準(zhǔn)靜力響應(yīng)和動力響應(yīng)
之和，其中非支承點(diǎn)處的準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)定義為
（3）
式（3）的力學(xué)意義為結(jié)構(gòu)支座節(jié)點(diǎn)的靜位移引起的結(jié)構(gòu)非支承點(diǎn)處的位移，即所謂的準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)。將式（3）代回式（2）的第一個(gè)方程可得
（4）
當(dāng)假定阻尼矩陣正比于剛度矩陣時(shí)，上式右邊第二項(xiàng)為；當(dāng)阻尼為其它形式并且較小時(shí)，此項(xiàng)也很小，因此可以從上式中略去[3]。由此可以近似得到
（5）
對集中質(zhì)量體系，，式（5）變?yōu)?br>
（6）
采用此式進(jìn)行動力計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)在于只需要根據(jù)支承點(diǎn)處的加速度時(shí)程就可以進(jìn)行計(jì)算得到非支承點(diǎn)處的動力響應(yīng)，而不需要知道速度向量和位移向量。
2．大質(zhì)量法
大質(zhì)量法是對結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行動力等效的一種分析方法，這種方法在處理多點(diǎn)激勵問題時(shí)需要解除支承點(diǎn)沿地震作用方向的約束，并賦予節(jié)點(diǎn)大質(zhì)量，其數(shù)值通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)體系的總體質(zhì)量，此時(shí)式（2）中支承點(diǎn)處的質(zhì)量矩陣應(yīng)改為，其中的表達(dá)式為
（7）
式中為第個(gè)支承點(diǎn)所賦予的節(jié)點(diǎn)大質(zhì)量。同時(shí)為了強(qiáng)迫支承點(diǎn)處的動力響應(yīng)時(shí)程與初始模型保持一致，在各節(jié)點(diǎn)大質(zhì)量上作用隨時(shí)間變化的節(jié)點(diǎn)荷載，其中為各支承點(diǎn)處輸入的加速度時(shí)程，由此式（2）的動力平衡方程可以改為
（7）
由式（7）的第二個(gè)方程可以得到支承點(diǎn)處的加速度，即支承點(diǎn)處的加速度響應(yīng)時(shí)程與輸入的多點(diǎn)激勵加速度時(shí)程基本保持一致。對比式（2）和式（7）的第一個(gè)方程，可知當(dāng)相同時(shí)，由該兩個(gè)方程求得的非支承點(diǎn)處的動力響應(yīng)、、是一致的。
由于大質(zhì)量法在求解過程中不涉及位移的分解，因此采用大質(zhì)量法求解結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激振下的動力響應(yīng)，可以通過直接積分的方法得到結(jié)構(gòu)的總體地震反應(yīng)，即相對位移法中準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)和動力響應(yīng)的和，大質(zhì)量法可以適用于非線性分析。
三、計(jì)算實(shí)例
兩點(diǎn)激勵，已知，，計(jì)算模型如下：
圖1 兩點(diǎn)激勵
1．精確解
動力平衡方程
（8）
、、為絕對位移， 、可以通過對、積分并考慮初始加速度和初始位移為零求得：
（9）
�。�10）
將式（9）、（10）代入式（8）求解得到質(zhì)點(diǎn)m絕對位移的解為：
（11）
2．相對運(yùn)動法
當(dāng)采用相對運(yùn)動法時(shí)=1，=2
�。�14）
（15）
由式（3）可得
（16）
由式（6）可得
= （17）
求解可得
�。�18）
（19）
由此可見，由相對運(yùn)動法計(jì)算得到的結(jié)果與精確解完全吻合。
2．大質(zhì)量法
本文在采用大質(zhì)量法時(shí)，運(yùn)用通用有限元程序Strand7建立圖1所示的動力分析模型，得到質(zhì)點(diǎn)m的絕對位移動力響應(yīng)如圖2所示，可見大質(zhì)量法的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)于精確解。
2 質(zhì)點(diǎn)m的絕對位移動力響應(yīng)
四、結(jié)論
對比LMM和RMM的整個(gè)求解過程，可以看出兩種方法具有以下的優(yōu)缺點(diǎn)[4]：
1．RMM的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在求解方法具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)，且由于RMM在求解過程中將結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)分解為準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)和動力響應(yīng)，因此可以得到地震作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的一些附屬信息，有助于理解地震作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的本質(zhì)；
2．RMM將結(jié)構(gòu)總響應(yīng)分解為準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)和動力響應(yīng)，為了得到地震作用下的結(jié)構(gòu)總響應(yīng)，需要求解準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)，因此要對地面加速度時(shí)程進(jìn)行積分；
3．RMM不能直接采用通用有限元程序?qū)崿F(xiàn)；
4．RMM求解結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)時(shí)，依然基于準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)和動力響應(yīng)的疊加，因此不能用于對結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性分析；
5．LMM的優(yōu)缺點(diǎn)是相對于RMM而言的。LMM的缺點(diǎn)在于求解方法并沒有經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，僅通過在力學(xué)意義上對結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行等效來求得結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)，且大質(zhì)量的取值應(yīng)根據(jù)實(shí)際的結(jié)構(gòu)模型分析結(jié)果來確定，當(dāng)大質(zhì)量的數(shù)值大于某個(gè)數(shù)值時(shí)，結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析結(jié)果會出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。但LMM的優(yōu)點(diǎn)恰恰表現(xiàn)在它能夠克服RMM中出現(xiàn)的缺點(diǎn)，運(yùn)用LMM并采用通用有限元程序來求解可以更加方便快捷地得到結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)，且求解結(jié)果接近于地震作用下的結(jié)構(gòu)真實(shí)總響應(yīng)。
參考文獻(xiàn)
[1] 范立礎(chǔ)等．非一致地震激勵下大跨度斜拉橋的響應(yīng)特征.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)．2001，18（3）：358～363．
[2] 潘旦光等．多點(diǎn)輸入下大跨度結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析研究現(xiàn)狀.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào).2001，29（10）：1213～1219．
[3] 胡聿賢．地震工程學(xué)．北京：地震出版社，1988．
[4] P.Leger, I.M.Ide and P.Paultre. Multiple-support Seismic Analysis of Large Structures. Computers & ．Structures.1990, 36, 1153-1158．
關(guān)鍵字：建筑,北京
