綜述建構(gòu)•深化•拓展——《平均數(shù)》教學(xué)實錄
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建構(gòu)•深化•拓展——《平均數(shù)》教學(xué)實錄與評析
論文關(guān)鍵詞：平均數(shù),教學(xué)實錄
【教學(xué)實錄】
一、建構(gòu)意義
師：我們聊個輕松點的話題，你們喜歡體育運動嗎？說出你最拿手的一項？
生1：我喜歡踢毽子。師：手巧腳也巧。
生2：我喜歡跑步。師：身輕如燕 。 ……
師：看來每個學(xué)生都有自己的運動強項，如果崔老師告訴大家，我最喜歡并且最拿手的體育運動是籃球，你們相信嗎?
生：不相信。
師：不過還別說，和你們一樣，我們班上有3個小伙子對我的投籃技術(shù)也深表懷疑。前不久，他們?nèi)诉�約我進行了一場“1分鐘投籃挑戰(zhàn)賽”。怎么樣，想不想了解現(xiàn)場的比賽情況?
生：想！
【評析：通過情境創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在一種真實的情境中進入解決問題的狀態(tài)�！�
師：首先出場的是小明，想知道小明1分鐘投中幾個嗎？
生：想！
師：請看，當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 1分鐘過去了，小明投中了（5）個，是不是覺得他投得太（少了）。
生：是。
師：其實不光是你們覺得他投得太少了，就連小明自己也覺得太少了。于是，他跑到我跟前跟我說：崔老師，這次我沒有發(fā)揮出真實水平，要不，您再給我兩次機會吧。孩子們，你覺得崔老師該不該再給他兩次機會。
生：給他兩次機會吧，畢竟他才上場，還有點手生。
師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。我可對比賽充滿了自信，況且做老師的應(yīng)該大度一點。就再給他兩次機會吧。想知道后兩次機會他又分別投中了幾個嗎？
生：想！
師：（當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)5個 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)5個），三次投籃你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：每次都是5個。
師：現(xiàn)在看來，要表示小明1分鐘投籃的水平，用哪個數(shù)比較合適?
生1：因為他三次一共投了15個，所以用15個表示小明1分鐘投籃的水平比較合適。
生2：15個是他3分鐘一共投的個數(shù)，不能表示小明1分鐘投籃的水平。
生3：小明不是每次都投中了5個嘛，當(dāng)然用5來表示他1分鐘投籃的水平最合適。
師：你們覺得他說的對嗎？
生：對！
師：真好！同學(xué)們真愛動腦筋。
師：小明比賽結(jié)束了，該誰出場啦？
生：小宇。
師：記性真好！小宇1分鐘又會投中幾個呢?我們一起來看看吧。
�。ó�(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)3個），怎么啦？覺得（太少了），猜猜看，小宇會跟崔老師怎么說？
生：也給我兩次機會吧！
師：正如你們所說的，小宇果然也要求再投兩次。為公平起見，崔老師也答應(yīng)了，不過，麻煩來了。(出示小宇的后兩次成績： 4個，5個)，三次投籃，成績相同嗎?
生：不同。
師：是呀，三次成績各不相同。這一回，又該用哪個數(shù)來表示小宇1分鐘投籃的一般水平最合適呢?（請獨立思考）咱們再來舉手表決吧�。ㄕJ(rèn)為是3的舉手……）請說說想法吧
生：3，因為小宇第一次投了3個，所以用3個表示1分鐘投籃的一般水平最合適。
師：第二次、第三次投中4個、5個啊，如果用3來表示，對小宇來說——不公平。
生：5，因為他第三次投的最多。
師：小宇另外兩次分別投中4個和3個，如果也用5來表示，對小明來說——不公平
生：4，因為第一次投中3個，第三次投中5個，把第三次多的1個給第一次，不是4個嘛！
師：對！第一次3比4少1，第三次比4多1……那么，把5里面多的1個送給3，這樣不就都是4個了嗎?——師演示：移多補少。
數(shù)學(xué)上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數(shù)都一樣多。這一過程就叫“移多補少”。移完后，小宇每分鐘看起來都投中了幾個?
生：4個
師：4個能代表小宇1分鐘投籃的一般水平嗎？
生：能！
師：下面輪到誰出場啦？
生：小鵬。
師：小鵬也投了三次（出示三次投籃情況），成績同樣各不相同。這一回，又該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平呢?同學(xué)們先獨立思考，然后在小組里交流自己的想法。結(jié)合學(xué)生交流，師再次呈現(xiàn)移多補少過程
師：除了用移多補少的方法外你還能想到別的方法嗎? 先獨立思考，然后在小組里交流自己的想法。
生：先把小鵬三次投中的個數(shù)相加，得到12個，再用12除以3等于4個，（師板書：3+7+2=12(個)，12÷3=4(個)）
師：像這樣先把每次投中的個數(shù)合起來，然后再平均分給這三次(板書：合并、平分)，使得每一次看起來都是（4）個。4個能不能代表小鵬1分鐘投籃的一般水平?
生：能！
師：其實，無論是剛才的移多補少，還是這回的先合并再平均分，目的只有一個，那就是——使原來幾個不相同的數(shù)變得同樣多。數(shù)學(xué)上，我們把通過移多補少后得到的同樣多的這個數(shù)，就叫做原來這幾個數(shù)的平均數(shù)。(板書課題：平均數(shù))比如，在這里我們就說4是3、4、5這三個數(shù)的平均數(shù)。那么，在這里哪個數(shù)是哪幾個數(shù)的平均數(shù)呢?在小組里說說你的想法。
生：在這里，4是3、7、2這三個數(shù)的平均數(shù)。
師：不過，這里的平均數(shù)4能代表小鵬第一次投中的個數(shù)嗎?
生：不能!
師：能代表小鵬第二次、第三次投中的個數(shù)嗎?
生：也不能!
師：奇怪，這里的平均數(shù)4既不能代表小鵬第一次投中的個數(shù)，也不能代表他第二次、第三次投中的個數(shù)，那它究竟代表的是哪一次的個數(shù)呢?
生：這里的4代表的是小鵬三次投籃的平均水平。
師：對！這里的4代表的是小鵬三次投籃的平均水平。也可以說是小鵬三次投籃的一般水平。（師板書：一般水平）
師：最后該我出場了。知道自己投籃水平不怎么樣，所以正式比賽前，我主動提出投四次的想法。沒想到，他們竟一口答應(yīng)了。前三次投籃已經(jīng)結(jié)束，怎么樣，想不想看看我每一次的投籃情況?
生：想！(師呈現(xiàn)前三次投籃成績：4個、6個、5個)
師：猜猜看，三位同學(xué)看到我前三次的投籃成績，可能會怎么想?
生：這時崔老師平均1分鐘投的個數(shù)比小宇和小鵬多，和小明打了個平手，總體上算贏。
師：第四次不投行不行呢？為什么？猜猜看第四次投了后我是贏了還是輸了？情況究竟會怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績吧。憑直覺，崔老師最終是贏了還是輸了?
師：不計算，你能大概估計一下，崔老師最后的平均成績可能是幾個嗎?
師：不過，第二次我明明投中了6個，為什么你們不估計我最后的平均成績是6個?
師：那你們?yōu)槭裁床还烙嬈骄煽兪?個呢?最后一次只投中1個呀!
師：這樣看來，盡管還沒得出結(jié)果，但我們至少可以肯定，最后的平均成績應(yīng)該比這里最大的數(shù)——小一些，還要比最小的數(shù)大一些。也就是在最大數(shù)和最小數(shù)之間。
師：是不是這樣呢?趕緊想辦法算算看吧。 [生列式計算，并交流計算過程：4+6+5+1=16(個)，16÷4=4(個)]
師：和剛才估計的結(jié)果比較一下，怎么樣?
生：的確在最大數(shù)和最小數(shù)之間。
師：現(xiàn)在看來，這場投籃比賽是我輸了。你們覺得問題主要出在哪兒?
生：最后一次投得太少了。
生：如果最后一次多投幾個，或許你就會贏了。
師：試想一下：如果崔老師最后一次投中5個，甚至更多一些，比如9個，比賽結(jié)果又會如何呢?同學(xué)們可以通過觀察來估一估，也可以動筆算一算，然后在小組里交流你的想法。(生估計或計算，隨后交流結(jié)果)
【評析：在這個環(huán)節(jié)中，選擇同學(xué)們喜歡的籃球活動為情境，圍繞同學(xué)們關(guān)心的“誰會贏得比賽？”展開學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在自己的身邊，滲透了數(shù)學(xué)源于生活實際的思想。同時積極地為學(xué)生自主探究創(chuàng)造條件，在“該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平”的爭論中，自然導(dǎo)出“移多補少”的數(shù)學(xué)思想方法，并讓學(xué)生通過獨立思考、小組合作討論交流探討得出“先總后分”的方法。感悟“求平均數(shù)”的多種方法，感知解決問題策略的多樣化。初步建構(gòu)了平均數(shù)的意義，激起學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的欲望，為整堂課營造了良好的學(xué)習(xí)氛圍�！�
二、深化理解
師：現(xiàn)在，請大家觀察下面的三幅圖，第四次投中的個數(shù)由1個變成了5個，變成了9個，發(fā)生了變化，而前三次投中的個數(shù)是不變的，最后的平均數(shù)——發(fā)生了變化。
師：看來，要使平均數(shù)發(fā)生變化，只需要改變其中的幾個數(shù)?
師：難怪有人說，平均數(shù)這東西很敏感，任何一個數(shù)據(jù)的“風(fēng)吹草動”，都會使平均數(shù)發(fā)生變化�，F(xiàn)在看來，這話有道理嗎?(生：有)其實呀，善于隨著每一個數(shù)據(jù)的變化而變化，這正是平均數(shù)的一個重要特點。
繼續(xù)觀察，每幅圖的平均數(shù)和最大的數(shù)比怎么樣，和最小的數(shù)比呢？
師：其實，這是平均數(shù)的又一個重要特點。利用這一特點，我們還可以大概地估計出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。 (師出示如下三張紙條，書上)
師：不計算，你能根據(jù)平均數(shù)的特點，大概估計一下，覺得這三張紙條的平均長度大約是幾厘米。
師：它們的平均長度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。……
【評析：深入理解平均數(shù)的意義是本節(jié)課的教學(xué)難點。教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察三幅圖，并配合動態(tài)演示，將第四次投中的個數(shù)由1個變成了5個、9個…，而前三次投中的個數(shù)不變，最后的平均數(shù)發(fā)生了變化。揭示出平均數(shù)的一個重要特點。即平均數(shù)隨著每一個數(shù)據(jù)的變化而變化，引導(dǎo)學(xué)生將平均數(shù)分別與最大的數(shù)和最小的數(shù)進行比較，使學(xué)生進一步理解了平均數(shù)表示的是一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)應(yīng)在這一組數(shù)據(jù)中的范圍，成功突破了難點，并為后面的拓展練習(xí)掃清了思維障礙�！�
三、拓展鞏固
師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數(shù)的特點來解決。瞧，學(xué)�；@球隊的幾位同學(xué)正在進行籃球比賽。我了解到這么一份資料，說李強所在的快樂籃球隊，隊員的平均身高是160厘米。那么，李強的身高可能是155厘米嗎?
生：有可能。
師：不對呀!不是說隊員的平均身高是160厘米嗎
生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般水平，并不代表隊里每個人的身高。李強有可能比平均身高矮，比如155厘米，當(dāng)然也可能比平均身高高，比如170 厘米。
師：說得好!為了使同學(xué)們對這一問題有更深刻的了解，我還給大家?guī)砹艘环鶊D。(出示中國男子籃球隊隊員的合影)畫面中的人，相信大家一定不陌生。
生：姚明!
師：沒錯，這是以姚明為首的中國男子籃球隊隊員。老師從網(wǎng)上查到這么一則數(shù)據(jù)，中國男子籃球隊隊員的平均身高為200厘米。這是不是說，籃球隊每個隊員的身高都是200厘米?
師：沒錯。據(jù)老師所查資料顯示，這位隊員的身高只有178厘米，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于平均身高�？磥�，平均數(shù)只反映一組數(shù)據(jù)的一般水平，并不代表其中的每一個數(shù)據(jù)。好了，探討完身高問題，我們再來看看池塘的平均水深。
師：冬冬來到一個池塘邊。低頭一看，發(fā)現(xiàn)了什么?
生：平均水深110厘米。
師：冬冬心想，這也太淺了，我的身高是130厘米，下水游泳一定沒危險。你們覺得冬冬的想法對嗎?
生：不對!
師：怎么不對?冬冬的身高不是已經(jīng)超過平均水深了嗎?
生：平均水深110厘米，并不是說池塘里每一處水深都是110厘米�？赡苡械牡胤奖容^淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳可能 會有危險。
師：說得真好!想看看這個池塘水底下的真實情形嗎?(師出示池塘水底的剖面圖)
生：原來是這樣，真的有危險!
師：看來，認(rèn)識了平均數(shù)，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢。當(dāng)然，如果不了解平均數(shù)，鬧起笑話來，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最新的《健康報》上查到這么一份資料。
《2007年世界衛(wèi)生報告》顯示，目前中國男性的平均壽命大約是71歲
師：可別小看這一數(shù)據(jù)哦30年前，也就在崔老師出生那會兒，中國男性的平均壽命大約只有68歲。比較一下，發(fā)現(xiàn)了什么?
生：中國男性的平均壽命比原來長了。
師：是呀，平均壽命變長了，當(dāng)然值得高興嘍�？墒牵晃�70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點難過。這又是為什么呢?
生：我想，老伯伯可能以為平均壽命是71歲，而自己已經(jīng)70歲了，看來只能再活1年了。
師：老伯伯之所以這么想，你們覺得他懂不懂平均數(shù)。
生：不懂!
師：你們懂不懂?(生：懂)既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老伯伯，你們打算怎么勸勸我?
生：老伯伯，別難過。平均壽命71歲，并不是說每個人都只能活到71歲。如果有人只活到六十幾歲，那么，你不就可以活到七十幾歲了嗎?
師：原來，你是把我的幸福建立在別人的痛苦之上呀!(生笑)不過，還是要感謝你的勸告。別的同學(xué)又是怎么想的呢?
生：老伯伯，我覺得平均壽命71歲反映的只是中國男性壽命的一般水平，這些人中，一定會有人超過平均壽命的。弄不好，你還會長命百歲呢!
師：謝謝你的祝福!不過，光這么說，好像還不足以讓我徹底放心。有沒有誰家的爺爺或是老太爺，已經(jīng)超過71歲的?如果有，那我可就更放心了。
生：我爺爺已經(jīng)78歲了。
生：我爺爺已經(jīng)85歲了。
生：我老太爺都已經(jīng)94歲了。
師：真有超過71歲的呀!猜猜看，這一回老伯伯還會再難過嗎?
生：不會了。
師：探討完男性的平均壽命，想不想了解女性的平均壽命?有誰愿意大膽地猜猜看?
生：我覺得大約有73歲。 (師呈現(xiàn)相關(guān)資料：中國女性的平均壽命大約是74歲)
師：發(fā)現(xiàn)了什么?
生：女性的平均壽命要比男性長。
師：既然這樣，那么，如果有一對60多歲的老夫妻，是不是意味著，老奶奶的壽命一定會比老爺爺長?
生：不一定!
生：雖然女性的平均壽命比男性長，但并不是說每個女性的壽命都會比男性長。萬一這老爺爺特別長壽，那么，他完全有可能比老奶奶活得更長些。
師：說得真好!走出課堂，愿大家能帶上今天所學(xué)的內(nèi)容，更好地認(rèn)識生活中與平均數(shù)有關(guān)的各種問題。
【評析：平均數(shù)是統(tǒng)計中的一個重要概念。它既可以用它來反映一組數(shù)據(jù)的一般情況，也可以用它進行不同組數(shù)據(jù)的比較。以往在教學(xué)“平均數(shù)”時，教師往往把教學(xué)重點放在平均數(shù)的求法上，而對平均數(shù)在統(tǒng)計學(xué)上的意義和作用很少提及。
本節(jié)課沒有只停留在“簡單地給出若干數(shù)據(jù)，要求學(xué)生計算出它們的平均數(shù)”上，而把理解平均數(shù)的意義作為教學(xué)的重點，這些拓展題的練習(xí)就是學(xué)生對平均數(shù)的意義的進一步鞏固和更深的理解，學(xué)生在具有現(xiàn)實背景的問題情景中去準(zhǔn)確把握“平均數(shù)”的意義，緊密聯(lián)系實際，使學(xué)生體會到為什么要學(xué)習(xí)平均數(shù)，充分引導(dǎo)學(xué)生理解“平均數(shù)”所蘊涵的豐富、深刻的意義，讓學(xué)生在實踐應(yīng)用中，去把握平均數(shù)的特征，理解平均數(shù)的意義，并能在新的情境中運用它去解決實際問題，從而獲得必要的發(fā)展�！�
四、全課總結(jié)（略）
【總評】
一、創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)意義
課一開始，教者創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的問題情境，3名男生和我進行投籃比賽，每人幾次投中的個數(shù)都表示在統(tǒng)計圖上，要比較誰投得準(zhǔn)一些。在教學(xué)中，我讓學(xué)生在觀看了每次“投籃比賽”統(tǒng)計圖的同時，以“當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，一分鐘過去了”配音模擬比賽現(xiàn)場的緊張氣氛，給學(xué)生以身臨其境的感覺，學(xué)生注意力特別集中，興趣盎然，繼而拋出一個實質(zhì)性的問題： “該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平”，使學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，一石激起千層浪，學(xué)生們議論紛紛，各抒己見，各自發(fā)表了自己的意見，然后進行全班交流：有的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該用最多的一次成績表示比較合理，有的學(xué)生認(rèn)為用最少的一次成績表示比較合理，還有的認(rèn)為用投籃總數(shù)表示比較合理……，這時候鼓勵他們將心中的矛盾展示出來，讓他們充分地爭論，使學(xué)生切實感受到用求平均數(shù)的方法來解決這一問題的合理性。當(dāng)學(xué)生感受到要表示他1分鐘投籃的一般水平必須先求出“他平均每次投中的個數(shù)”后，我并沒有急著讓學(xué)生討論或者講解“平均數(shù)”的含義，而是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合統(tǒng)計圖移一移，補一補，自然導(dǎo)出移多補少法求平均數(shù)，然后再由具體到抽象，讓學(xué)生通過先合并再平分，用計算的方法求出平均數(shù)。這時學(xué)生在實踐中對“平均數(shù)”已有所思、有所悟，在此基礎(chǔ)上，揭示平均數(shù)的意義，水到渠成，這一情境的創(chuàng)設(shè)既使學(xué)生初步建構(gòu)了平均數(shù)的意義，同時也為深化理解平均數(shù)以及平均數(shù)的實際運用起到了認(rèn)知鋪墊的作用。
二、分析比較，深化理解
本課的大致知識能力層次如下：認(rèn)識平均數(shù)的意義——深化對平均數(shù)認(rèn)識——應(yīng)用平均數(shù)解決實際問題。而第二層次是第一層次的拓展，可深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，同時也可為學(xué)生靈活應(yīng)用平均數(shù)解決問題提供感性支撐，因此我沒有在揭示平均數(shù)的意義學(xué)生初步掌握求平均數(shù)的方法后草草收兵，直接進入應(yīng)用環(huán)節(jié)，而是以“動態(tài)演示和靜態(tài)計算”相結(jié)合，讓學(xué)生通過觀察、計算、比較、分析、感悟，得出平均數(shù)的特征：“平均數(shù)這東西很敏感，任何一個數(shù)據(jù)的‘風(fēng)吹草動’，都會使平均數(shù)發(fā)生變化”。形象生動的比喻，學(xué)生易于理解和掌握，并不失時機地滲透：平均數(shù)處于一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之間，能反映整體水平，但不能代表每個個體的情況。同時讓學(xué)生大概估計一下，三張紙條的平均長度大約是幾厘米。教學(xué)估計平均數(shù)的常用方法，培養(yǎng)學(xué)生估算意識，整個第二環(huán)節(jié)的設(shè)計，學(xué)生對平均數(shù)意義的理解，由具體到抽象，由模糊到清晰，由已知到深知，多緯度構(gòu)建主體化的平均數(shù)概念。這樣一來，學(xué)生對平均數(shù)這一概念的認(rèn)識顯得更為深刻和全面。
三、聯(lián)系生活，拓展應(yīng)用
在教學(xué)中，我還結(jié)合教材內(nèi)容，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，把學(xué)生對生活的體驗融進課堂，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，發(fā)掘現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)素材，利用身邊有效的數(shù)學(xué)資源學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。所選取的三個練習(xí)，由淺入深，層層深入，所選的內(nèi)容都與學(xué)生生活貼近的題材，如：第一題判斷題。隊員的平均身高是160厘米。那么，李強的身高可能是155厘米嗎?通過思考討論，學(xué)生知道了160厘米是籃球隊隊員的平均身高，不是每一名隊員的身高，籃球隊里會有身高低于160厘米的隊員，也肯定有身高超過160厘米的隊員。這一題是對平均數(shù)的理解；第二題：在平均水深110的河水中，冬冬下河游泳有沒有危險？這個討論中，既是對平均數(shù)的綜合應(yīng)用，又讓學(xué)生受到了安全教育。第三題：《2007年世界衛(wèi)生報告》顯示，目前中國男性的平均壽命大約是71歲。一位70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點難過。這又是為什么呢?讓學(xué)生運用學(xué)過的平均數(shù)知識表述自己的看法，在各種觀點的撞擊中，學(xué)生深化了對平均數(shù)認(rèn)識。這三道鞏固練習(xí)都與學(xué)生的生活緊密聯(lián)系，使學(xué)生真真切切地感受到生活之中有數(shù)學(xué)，生活之中處處用數(shù)學(xué)，能使學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，形成解決問題的一些基本策略。從而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生極大的興趣，主動地去學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)。這樣的教學(xué)實現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的多重價值。
