如何利用導(dǎo)數(shù)來判斷含參數(shù)函數(shù)綜述
相關(guān)鏈接： 中國安全網(wǎng) 中國質(zhì)量網(wǎng) 中國論文網(wǎng) 中國資訊網(wǎng)
論文導(dǎo)讀:：當(dāng)利用導(dǎo)數(shù)來判斷含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，問題往往會變得復(fù)雜，運算也會變得繁瑣。其解答過程中會蘊含著幾個層次的分類討論，當(dāng)它們疊加在一起的時候，需要我們有很好的分析問題和解決問題的能力，同時還需要有一定的耐心。本文從例題出發(fā)，對解決這一類問題的步驟進行了探討和總結(jié)。對其中會出現(xiàn)的一些問題，也相應(yīng)的給出了解決的方法。
論文關(guān)鍵詞：參數(shù)單調(diào)性，分類討論，二次函數(shù)，判別式，方程的根
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，而利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性也是高考重點考查的內(nèi)容之一。用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，其一般步驟為：
�。�1） 確定函數(shù)
的定義域；
�。�2） 求導(dǎo)函數(shù)
；
�。�3） 在函數(shù)
的定義域的范圍內(nèi)解不等式
或
；
�。�4） 根據(jù)（3）的結(jié)果確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
例1：求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間
解：函數(shù)的定義域為
，
解不等式，得
;解不等式，得
或
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
，單調(diào)遞增區(qū)間為
。 當(dāng)我們遇到含參數(shù)函數(shù)時，基本上也要按照這個步驟進行。
例2：求函數(shù)
的單調(diào)減區(qū)間
解：函數(shù)的定義域為，
解方程
，得
，
只需解不等式即可，但需要對
之間的大小關(guān)系進行討論。
若
，即
時，的解集為：
若
，即
時，的解集為：
所以，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為; 當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為
通過例2可以發(fā)現(xiàn)，含參數(shù)函數(shù)問題，往往需要分類討論，而且有的時候，含參數(shù)類
問題的討論并不僅僅像例2那樣，只是對兩個根之間大小關(guān)系的討論二次函數(shù)，其討論的過程會更加
復(fù)雜，運算會更加繁瑣。不少同學(xué)解答起來會感覺很混亂，無從下手。下面，就對上述問題
進行一些探討和研究中國學(xué)術(shù)期刊網(wǎng)。看看如何才能在這個混亂的“局面”中找到解題的思路，做到“亂中
有序”。
先看一個例題：
例3：設(shè)函數(shù)
，其中
，求的單調(diào)區(qū)間。
分析：函數(shù)的定義域為
，
這里通過通分的方法，得到
，這樣做的好處是顯而易見的，因為
，所以只需判斷好
的符號。不妨設(shè)
，
則
，不等式等價于
，不等式等價于
，
看來問題可以得到解決了，但是在解決的過程中，有一些確是不容回避的：
�。�1） 
是否為二次函數(shù)？這需要通過對
或
來加以討論；
�。�2） 若為二次函數(shù)，則是否恒為正（負(fù)）？這一點，可以通過判別式
來判斷。
�。�3） 若
，則方程
的兩個解之間的大小關(guān)系是否確定？是否在定義域內(nèi)？如不確定需要分類討論，這也直接關(guān)系到不等式或的解集。
看來這個問題涵蓋了三個層次的分類討論，當(dāng)它們疊加在一起的時候，需要我們有很好的分析問題和解決問題的能力，同時還需要有一定的耐心。具體解答如下：
解：函數(shù)的定義域為，
設(shè)
時，
，此時
，
∴在區(qū)間單調(diào)遞減
時，為二次函數(shù)，其中
�、� 若
，即
時，函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線，故
恒成立，此時
在定義域
上也恒成立。
∴在區(qū)間單調(diào)遞減
�、� 若，即
或
時，的兩個根分別為
，
�、�.當(dāng)時，
，
故在
上，此時
；
在
上，此時
。
∴在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。
�、�. 當(dāng)時，
，，由于
，
，所以
，
故在區(qū)間
上二次函數(shù)，此時
在區(qū)間
和上，此時
∴在區(qū)間單調(diào)遞增，
在區(qū)間和上單調(diào)遞減。
綜上可得：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，
單調(diào)遞減區(qū)間為：
和；
當(dāng)
時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，
單調(diào)遞減區(qū)間為：。
通過解答的過程，我們可以發(fā)現(xiàn)，像這樣的，導(dǎo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的題型，
其解答的一般步驟為：
�。�1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，并將轉(zhuǎn)化成用二次函數(shù)（可設(shè)為）來表示；要注意兩點：①若本身就是二次函數(shù)，則無需轉(zhuǎn) 化；②若的二次項系數(shù)不確定，需再加一步討論。
�。�2）先討論二次函數(shù)的判別式，一般是分和。因為當(dāng)時，往往恒為正（負(fù)），此時，的符號就可以較為容易的判斷出來，先將這一部分問題解決后，再解決時的部分；
�。�3）當(dāng)時，對應(yīng)方程有兩個不同的根，需要進一步討論。這一塊主要討論兩點：①之間的大小關(guān)系；②是否在定義域或題目條件指定的區(qū)域中。這一部分運算往往比較繁瑣，討論容易出現(xiàn)混亂，解答時思路要清晰，還要有耐心。
解答這類問題時，要嚴(yán)格按照上面的步驟和要求，有序進行，解答的過程才能更加全面
和徹底，不會有遺漏中國學(xué)術(shù)期刊網(wǎng)。
仿照例3，按上述的步驟和要求，再來訓(xùn)練一個題目，
例4：已知函數(shù)
，求函數(shù)在區(qū)間
上的最小值。
分析：需要確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，按步驟進行。
解：第一步：確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，并將轉(zhuǎn)化成用二次函數(shù)來表示。
函數(shù)的定義域為
，
設(shè)
，則
，
第二步：討論二次函數(shù)的判別式。
因為這里的
恒大于等于0，所以不需要再討論，直接求出方程
的根：
第三步：討論之間的大小關(guān)系，是否在區(qū)間上。
，
時，
當(dāng)
時，
對任意恒成立，此時
對任意也恒成立二次函數(shù)，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴
當(dāng)
時，
若
時，則
，此時
若
時，則
，此時
∴在區(qū)間
上單調(diào)遞減，在區(qū)間
上單調(diào)遞增，
∴
當(dāng)
時，
對任意恒成立，此時
對任意也恒成立，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴
綜上可得： 時，；
時，
時，
第三步可以通過繪制草圖或列表格來輔助完成。
面對這一類型的題目時，不要輕易放棄，只要按照上述的步驟和要求依次執(zhí)行，問題便可以得到解決。如果時間允許的話，可以在草稿紙上列出解答問題的提綱，這樣解題的思路會更加清晰。解答的過程中，還要注意書寫的規(guī)范，不同層次的分類討論，最好用上不同的序號（如，，…或①，②，③…）加以區(qū)分。
